题目
已知正方体 的棱长为 1，点 在上底面 内，满足 ，其中 ，且 ，则下列选项正确的是（ ）
A． 平面
B．三棱锥 的体积为定值
C． 的轨迹长度为
D．当 时， 取最小值
参考解答
解析：
由 ，其中 ，且 ，可得 三点共线，即 在线段 上。
对于 A：连接 ，在正方体 中，可得 ，。因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 。同理可证： 平面 。又因为 ，且 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 。因为 平面 ，所以 平面 。**A 正确。**
对于 B：因为 在线段 上，且 平面 ，所以 。**B 错误。**
对于 C：因为 在线段 上，即点 的轨迹为线段 ，在直角 中，可得 。**C 正确。**
对于 D：当 时，可得 为线段 的中点，此时 ，，所以 。又因为 在线段 上，将等边 和矩形 展开在一个平面上，设点 展开后为点 ，连接 。在 中，，，。由余弦定理得 ，因为 ，可得 ，即 取最小值为 。**D 错误。**
答案：