每日一题：2026-05-14

题目

已知直四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的底面是边长为 $2\sqrt{2}$ 的正方形，$AA_1=3\sqrt{2}$，$E,F$ 分别是棱 $AB,BC$ 的中点，点 $M$ 是棱 $AA_1$ 上的一点，且 $A_1M=2AM$，则过点 $M,E,F$ 的平面截直四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 所得截面的面积为（ ）

A. $3\sqrt{3}$

B. $5\sqrt{3}$

C. $7\sqrt{3}$

D. $9\sqrt{3}$

参考解答

解析：

设直线 $EF$ 分别交 $DA,DC$ 的延长线于点 $P,Q$，连接 $D_1P$，交 $AA_1$ 于点 $M$，连接 $D_1Q$，交 $CC_1$ 于点 $N$，连接 $ME,FN$，所得截面为五边形 $D_1MEFN$。

由平行线分线段比例可知：$AP=BF=\sqrt{2}$，故 $DP=DD_1=3\sqrt{2}$，$\triangle DD_1P$ 为等腰直角三角形，所以 $AM=AP=\sqrt{2}$，$A_1M=2\sqrt{2}$，则 $D_1M=D_1N=4$，$ME=EF=FN=2$。

连接 $MN$，易知 $MN=4$，五边形 $D_1MEFN$ 可分成等边三角形 $D_1MN$ 和等腰梯形 $MEFN$ 两部分：

• 等腰梯形 $MEFN$ 的高 $h=\sqrt{2^2-\left(\frac{4-2}{2}\right)^2}=\sqrt{3}$，面积为 $\frac{4+2}{2}\times\sqrt{3}=3\sqrt{3}$

• 等边三角形 $D_1MN$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}\times4^2=4\sqrt{3}$

因此五边形总面积为 $3\sqrt{3}+4\sqrt{3}=7\sqrt{3}$。

答案：$\displaystyle C$