题目
四棱锥 的底面 为平行四边形，过顶点 的平面 与棱 分别交于点 。若 为棱 的中点，则当四棱锥 的体积与四棱锥 的体积之比最小时， ______。
参考解答
解析：
**1. 设元**
设
因为底面 是平行四边形，对角线互相平分，易知
2. 利用四点共面推导约束关系
四棱锥 的体积可以按两种方式拆分为两个三棱锥之和：
两边同除以对应底面的三棱锥体积（ 和 ），得
由于 是 中点，。利用**共顶点三棱锥体积比等于底面积比**（等高等底），有
将上述四个式子代入等式，约去 得
化简即
解得
由 可得定义域：
3. 表示体积比
代入 得
4. 利用基本不等式求最小值
其中 （因 ），基本不等式 （，当且仅当 时取等）成立。
等号当 时取得，解得 ，即
因此体积比的最小值为 ，此时 。
答案：