每日一题：2026-05-15

题目

四棱锥 $P-ABCD$ 的底面 $ABCD$ 为平行四边形，过顶点 $A$ 的平面 $\alpha$ 与棱 $PB,\ PC,\ PD$ 分别交于点 $M,\ N,\ T$。若 $N$ 为棱 $PC$ 的中点，则当四棱锥 $P-AMNT$ 的体积与四棱锥 $P-ABCD$ 的体积之比最小时，$\displaystyle\frac{PM}{PB}=$ ______。

参考解答

解析：

1. 设元

设

$x=\frac{PM}{PB},\qquad y=\frac{PT}{PD},\qquad x,y\in(0,1].$

因为底面 $ABCD$ 是平行四边形，对角线互相平分，易知

$V_{P-ABC}=V_{P-ABD}=V_{P-ADC}=\frac12 V_{P-ABCD}.$

2. 利用四点共面推导约束关系

四棱锥 $P-AMNT$ 的体积可以按两种方式拆分为两个三棱锥之和：

$V_{P-AMNT}=V_{P-AMN}+V_{P-ANT}=V_{P-MNT}+V_{P-AMT}.$

两边同除以对应底面的三棱锥体积（$V_{P-ABC}$ 和 $V_{P-ABD}$），得

$\frac{V_{P-AMN}+V_{P-ANT}}{V_{P-ABC}}=\frac{V_{P-MNT}+V_{P-AMT}}{V_{P-ABD}}.$

由于 $N$ 是 $PC$ 中点，$\displaystyle\frac{PN}{PC}=\frac12$。利用共顶点三棱锥体积比等于底面积比（等高等底），有

$\begin{aligned} V_{P-AMN}&=\frac{PM}{PB}\cdot\frac{PN}{PC}\,V_{P-ABC}=\frac12 x\,V_{P-ABC},\\[4pt] V_{P-ANT}&=\frac{PT}{PD}\cdot\frac{PN}{PC}\,V_{P-ADC}=\frac12 y\,V_{P-ABC},\\[4pt] V_{P-MNT}&=\frac{PM}{PB}\cdot\frac{PN}{PC}\cdot\frac{PT}{PD}\,V_{P-ABD}=\frac12 xy\,V_{P-ABC},\\[4pt] V_{P-AMT}&=\frac{PM}{PB}\cdot\frac{PT}{PD}\,V_{P-ABD}=xy\,V_{P-ABC}. \end{aligned}$

将上述四个式子代入等式，约去 $V_{P-ABC}$ 得

$\frac{\displaystyle\frac12 x+\frac12 y}{1}= \frac{\displaystyle\frac12 xy+xy}{1},$

化简即

$\frac{x+y}{2}=\frac{3xy}{2}\quad\Longrightarrow\quad x+y=3xy.$

解得

$y=\frac{x}{3x-1}.$

由 $y\in(0,1]$ 可得定义域：

$\frac12\le x\le 1.$

3. 表示体积比

$\frac{V_{P-AMNT}}{V_{P-ABCD}} =\frac{V_{P-AMN}+V_{P-ANT}}{2V_{P-ABC}} =\frac{\displaystyle\frac12(x+y)V_{P-ABC}}{2V_{P-ABC}} =\frac{x+y}{4}.$

代入 $y=\dfrac{x}{3x-1}$ 得

$\frac{V_{P-AMNT}}{V_{P-ABCD}} =\frac{x+\dfrac{x}{3x-1}}{4} =\frac{3x^2}{4(3x-1)}.$

4. 利用基本不等式求最小值

$\begin{aligned} \frac{3x^2}{4(3x-1)} &=\frac{1}{12}\left(3x-1+\frac{1}{3x-1}+2\right) \\[4pt] &\ge \frac{1}{12}\left(2+2\right) = \frac13, \end{aligned}$

其中 $3x-1>0$（因 $x\ge\frac12$），基本不等式 $a+\dfrac1a\ge2$（$a>0$，当且仅当 $a=1$ 时取等）成立。

等号当 $3x-1=\dfrac{1}{3x-1}$ 时取得，解得 $3x-1=1$，即

$x=\frac23\ \left(\in\left[\frac12,1\right]\right).$

因此体积比的最小值为 $\dfrac13$，此时 $\displaystyle\frac{PM}{PB}=\frac23$。

答案：$\displaystyle\frac23$