题目
如图，已知正方体 的棱长为 ， 为 的中点， 为对角线 上的一个动点，过 作与平面 平行的平面，则此平面截正方体所得的截面（ ）
A. 截面不可能是五边形
B. 截面可以是正六边形
C. 从 点向 运动时，截面面积先增大后减小
D. 截面面积的最大值为
参考解答
解析：
**关键辅助线构造**
在正方体 中，取 的中点 ，连接 。由 为 的中点可知 。
取 的中点 ，连接 ，有 。由于 平面 而 平面 ，故 平面 。
连 交 分别于点 ；连 交 分别于点 ；连 交 于 。
易知 ，又 ，则四边形 是平行四边形，故 。因 平面 ， 平面 ，得 平面 。而 ， 平面 ，于是平面 平面 ，且四边形 与四边形 面积相等。
**截面形状随 点运动的变化规律**
当 从 向 移动时，可分为三个阶段：
- **（不含端点）**：截面与射线 相交。交点在线段 （不含 ）上时，截面为**三角形**，面积逐渐增大；继续移动至交点落在 延长线上时，截面还与平面 相交，截面变为**四边形**，面积继续增大。
- **（不含端点）**：截面与正方体的六个面都相交，截面为**六边形**。面积先增大后减小，在 中点处取得最大值。
- **（不含 ）**：截面由四边形逐渐变形为三角形，面积逐渐减小。
因此截面**不可能为五边形**。选项 **A 正确**，C 正确。
**关于正六边形选项的判断**
计算相关数据：
故 。与 两边分别平行的截面六边形顶角不等于 ，因此截面六边形**不是**正六边形。选项 **B 不正确**。
**最大截面面积的计算**
令过 中点的截面为六边形 。有
令 ，连 ，有 ，
分别为等腰梯形 两底的中点，有 ，从而 ， 为 中点， 为 中点。连 ，四边形 为矩形。
点 分别为棱 中点，，等腰 底边上的高
所以最大截面面积：
故选项 **D 正确**。
答案：