题目
已知点 为直四棱柱 表面上一动点，四边形 为正方形，， 为 的中点， 为 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．过 ，， 三点的平面截该四棱柱所得截面的面积为
B．过 ，， 三点的平面截该四棱柱所得的截面为五边形
C．若 平面 ，则点 的轨迹长度为
D．若动点 到棱 的距离为 ，则点 的轨迹长度为
参考解答
解析：
**选项A：** 如图1，取 的中点 ，连接 ，，，，则过 ，， 三点的平面截该四棱柱所得的截面为等腰梯形 ，理由如下：
连接 ，因为 ， 分别是 和 的中点，所以 ，
又在平行四边形 中，，所以 ，则 ，，， 四点共面。
因为 ，所以 ，，，
则等腰梯形 的高 ，
所以等腰梯形 的面积
故A正确。
**选项B：** 如图2，连接 并延长，交 的延长线于 ，连接 交 于 ，连接 ，取 靠近 的四等分点 ，连接 ，，则五边形 即过 ，， 三点的平面截该四棱柱所得的截面。
作 的中点 ，连接 和 ，作 的中点 ，连接 和 ，
则有 ，，所以四边形 是平行四边形，即 。
又有 ，，，，所以 ，，
所以四边形 是平行四边形，即 ，则 ，
所以 ，，， 四点共面。
由题可知平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，所以 。
又因为 是 靠近 的四等分点， 是 的中点，所以 ，
则 ，所以 ，，，， 五点共面，故B正确。
**选项C：** 如图3，分别取 ，， 的中点 ，，，连接 ，，，，。
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 。
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 。
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
则点 的轨迹为 ，所以点 的轨迹长度为
故C错误。
**选项D：** 如图4，若动点 到棱 的距离为 ，则点 的轨迹长度为两个以 为半径的圆的周长的 再加上两个侧棱 的长度，即
故D正确。
答案：
> 图1：截面 （选项A）；图2：截面 （选项B）
> 图3：平面 （选项C）；图4： 到 距离为 的轨迹（选项D）