每日一题：2026-05-17

题目

已知点 $P$ 为直四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 表面上一动点，四边形 $ABCD$ 为正方形，$AA_1=2AB=4$，$E$ 为 $AB$ 的中点，$F$ 为 $DD_1$ 的中点，则下列说法正确的是（ ）

A．过 $A_1$，$C_1$，$E$ 三点的平面截该四棱柱所得截面的面积为 $\dfrac{3\sqrt{33}}{2}$

B．过 $C_1$，$E$，$F$ 三点的平面截该四棱柱所得的截面为五边形

C．若 $D_1P\parallel$ 平面 $A_1C_1E$，则点 $P$ 的轨迹长度为 $2\left(\sqrt{17}+\sqrt{2}\right)$

D．若动点 $P$ 到棱 $BB_1$ 的距离为 $\sqrt{3}$，则点 $P$ 的轨迹长度为 $\sqrt{3}\pi+8$

参考解答

解析：

选项A： 如图1，取 $BC$ 的中点 $G$，连接 $C_1G$，$EG$，$A_1C_1$，$A_1E$，则过 $A_1$，$C_1$，$E$ 三点的平面截该四棱柱所得的截面为等腰梯形 $A_1C_1GE$，理由如下：

连接 $AC$，因为 $E$，$G$ 分别是 $AB$ 和 $BC$ 的中点，所以 $EG\parallel AC$，
又在平行四边形 $ACC_1A_1$ 中，$AC\parallel A_1C_1$，所以 $EG\parallel A_1C_1$，则 $A_1$，$E$，$C$，$C_1$ 四点共面。

因为 $AA_1=2AB=4$，所以 $A_1C_1=2\sqrt{2}$，$EG=\sqrt{2}$，$A_1E=C_1G=\sqrt{17}$，
则等腰梯形 $A_1C_1GE$ 的高 $h=\sqrt{17-\frac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{33}{2}}$，
所以等腰梯形 $A_1C_1GE$ 的面积

$S=\frac{1}{2}\times\left(\sqrt{2}+2\sqrt{2}\right)\times\frac{\sqrt{33}}{2}=\frac{3\sqrt{33}}{2}$

故A正确。

选项B： 如图2，连接 $C_1F$ 并延长，交 $CD$ 的延长线于 $H$，连接 $EH$ 交 $AD$ 于 $I$，连接 $IF$，取 $BB_1$ 靠近 $B$ 的四等分点 $Q$，连接 $EQ$，$QC_1$，则五边形 $EQC_1FI$ 即过 $C_1$，$E$，$F$ 三点的平面截该四棱柱所得的截面。

作 $BB_1$ 的中点 $T$，连接 $AT$ 和 $C_1T$，作 $CC_1$ 的中点 $S$，连接 $ST$ 和 $DS$，
则有 $C_1S=DF$，$C_1S\parallel DF$，所以四边形 $DSC_1F$ 是平行四边形，即 $C_1F\parallel DS$。
又有 $ST\parallel BC$，$ST=BC$，$BC\parallel AD$，$BC=AD$，所以 $ST\parallel AD$，$ST=AD$，
所以四边形 $ADST$ 是平行四边形，即 $AT\parallel SD$，则 $AT\parallel C_1F$，
所以 $A$，$T$，$C_1$，$F$ 四点共面。

由题可知平面 $ABB_1A_1\parallel$ 平面 $DCC_1D_1$，平面 $ABB_1A_1\cap$ 平面 $ATC_1F=AT$，平面 $ATC_1F\cap$ 平面 $DCC_1D_1=C_1F$，所以 $AT\parallel C_1F$。
又因为 $Q$ 是 $BB_1$ 靠近 $B$ 的四等分点，$T$ 是 $BB_1$ 的中点，所以 $EQ\parallel AT$，
则 $EQ\parallel C_1F$，所以 $E$，$Q$，$C_1$，$F$，$I$ 五点共面，故B正确。

选项C： 如图3，分别取 $AD$，$CD$，$BC$ 的中点 $M$，$N$，$G$，连接 $D_1M$，$D_1N$，$MN$，$EG$，$C_1G$。
因为 $MN\parallel EG$，$MN\not\subset$ 平面 $A_1C_1GE$，$GE\subset$ 平面 $A_1C_1GE$，所以 $MN\parallel$ 平面 $A_1C_1GE$。
因为 $D_1N\parallel EA_1$，$D_1N\not\subset$ 平面 $A_1C_1GE$，$EA_1\subset$ 平面 $A_1C_1GE$，所以 $D_1N\parallel$ 平面 $A_1C_1GE$。
又 $D_1N\cap MN=N$，$MN\subset$ 平面 $D_1MN$，$D_1N\subset$ 平面 $D_1MN$，
所以平面 $D_1MN\parallel$ 平面 $A_1C_1GE$，
则点 $P$ 的轨迹为 $\triangle D_1MN$，所以点 $P$ 的轨迹长度为

$D_1M+D_1N+MN=2\sqrt{17}+\sqrt{2}$

故C错误。

选项D： 如图4，若动点 $P$ 到棱 $BB_1$ 的距离为 $\sqrt{3}$，则点 $P$ 的轨迹长度为两个以 $\sqrt{3}$ 为半径的圆的周长的 $\dfrac14$ 再加上两个侧棱 $BB_1$ 的长度，即

$\sqrt{3}\pi+8$

故D正确。

答案：$\displaystyle ABD$

图1：截面 $A_1C_1GE$（选项A）；图2：截面 $EQC_1FI$（选项B）
图3：平面 $D_1MN$（选项C）；图4：$P$ 到 $BB_1$ 距离为 $\sqrt{3}$ 的轨迹（选项D）