每日一题：2026-05-18

题目

在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB=2$，$E,F$ 分别为 $DD_1,B_1B$ 的中点，点 $P$ 为线段 $BC_1$ 上的动点（包括端点），则下列命题正确的是（ ）

A．$AD\parallel$ 平面 $BEC_1$

B．点 $B$ 到平面 $ACD_1$ 的距离为 $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

C．$DP+B_1P$ 的最小值为 $\sqrt{6}+\sqrt{2}$

D．过 $E,C_1,F$ 三点作该正方体的截面，则截面图形的面积为 $2\sqrt{6}$

参考解答

解析：

选项A： 因为 $AD\parallel BC$，又 $BC\cap$ 平面 $BEC_1=B$，所以 $AD$ 不平行于平面 $BEC_1$，故A错误。

选项B： 设点 $B$ 到平面 $ACD_1$ 的距离为 $d$。
在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，可得 $AC=CD_1=AD_1=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
由等体积法 $V_{B-ACD_1}=V_{D_1-ABC}$，得：

$\frac13\times\frac12\times AC\times CD_1\times\sin60^\circ\times d=\frac13\times\frac12\times AB\times BC\times DD_1$

代入数值：

$\frac13\times\frac12\times2\sqrt2\times2\sqrt2\times\frac{\sqrt3}{2}\times d=\frac13\times\frac12\times2\times2\times2$

解得 $d=\dfrac{2\sqrt3}{3}$，即点 $B$ 到平面 $ACD_1$ 的距离为 $\dfrac{2\sqrt3}{3}$，故B正确。

选项C： $BD=BC_1=DC_1=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2$，所以 $\triangle BDC_1$ 是等边三角形。
将 $\triangle BDC_1$ 绕 $BC_1$ 转到与 $\triangle B_1BC_1$ 在同一平面，$DP+B_1P$ 的最小值即为 $DB_1$ 的长度。

由 $\angle B_1BD=45^\circ+60^\circ$，用余弦和角公式：

$\cos\angle B_1BD=\cos(45^\circ+60^\circ)=\frac{\sqrt2}{2}\times\frac12-\frac{\sqrt2}{2}\times\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}$

在 $\triangle B_1BD$ 中，由余弦定理：

$\begin{aligned} B_1D^2 &= B_1B^2+BD^2-2\cdot B_1B\cdot BD\cdot\cos\angle B_1BD \\[2pt] &= 4+8-2\times2\times2\sqrt2\times\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4} \\[2pt] &= 12-4+4\sqrt3 = 8+4\sqrt3 \end{aligned}$

所以 $B_1D=\sqrt6+\sqrt2$，即 $DP+B_1P$ 的最小值为 $\sqrt6+\sqrt2$，故C正确。

选项D： 因为 $E,F$ 分别为 $DD_1,B_1B$ 的中点，过 $E,C_1,F$ 三点作正方体的截面为菱形 $AEC_1F$。
对角线 $EF$ 与 $AC_1$ 互相垂直，且

$AC_1=\sqrt{2^2+2^2+2^2}=2\sqrt3,\qquad EF=2\sqrt2$

所以四边形 $AEC_1F$ 的面积为：

$\frac12\times EF\times AC_1=\frac12\times2\sqrt2\times2\sqrt3=2\sqrt6$

故D正确。

答案：$\displaystyle BCD$