每日一题：2026-05-19

题目

正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 棱长为 $1$，$E$，$F$ 分别为棱 $B_1C_1$，$AD$（含端点）上的动点，记过 $C$，$E$，$F$ 三点的平面为 $\alpha$，记 $d_1$ 为点 $B$ 到平面 $\alpha$ 的距离，$d_2$ 为点 $D_1$ 到平面 $\alpha$ 的距离，则满足条件（ ）的 $\alpha$ 是不唯一的．

A．$d_1+d_2=\sqrt{2}$

B．$d_1+d_2=\sqrt{3}$

C．$d_1-d_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

D．$2d_1+d_2=\sqrt{6}$

参考解答

解析：

设 $C_1E=x$，$DF=y$，则 $x,y\in[0,1]$。

在正方体中，可得：

$CE=\sqrt{x^2+1},\quad CF=\sqrt{y^2+1},\quad EF=\sqrt{(x-y)^2+2}$

在 $\triangle CEF$ 中，由余弦定理：

$\cos\angle ECF=\frac{CE^2+CF^2-EF^2}{2\cdot CE\cdot CF}=\frac{xy}{\sqrt{x^2+1}\cdot\sqrt{y^2+1}}$

则

$\sin\angle ECF=\sqrt{1-\cos^2\angle ECF}=\frac{\sqrt{x^2+y^2+1}}{\sqrt{x^2+1}\cdot\sqrt{y^2+1}}$

所以 $\triangle CEF$ 的面积：

$S=\frac12\cdot CE\cdot CF\cdot\sin\angle ECF=\frac{\sqrt{x^2+y^2+1}}{2}$

将平面 $\alpha$ 延展，设 $\alpha$ 与直线 $A_1D_1$ 的交点为 $G$，连接 $GF,GE$。由

$\text{平面 }ADD_1A_1\parallel\text{平面 }BCC_1B_1$

且

$\alpha\cap\text{平面 }ADD_1A_1=GF,\quad \alpha\cap\text{平面 }BCC_1B_1=CE$

可得 $GF\parallel CE$；同理 $GE\parallel CF$，故四边形 $CEGF$ 为平行四边形，$D_1G=x+y$。

对于三棱锥 $B-CEF$，由 $V_{B-CEF}=V_{E-BCF}$：

$\frac13\cdot S\cdot d_1=\frac13\times1\times\frac12\times1\times1$

解得 $\displaystyle d_1=\frac{1}{2S}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+1}}$。

对于三棱锥 $D_1-GEF$，由 $V_{D_1-GEF}=V_{F-D_1EG}$：

$\frac13\cdot S\cdot d_2=\frac13\times1\times\frac12\times1\times(x+y)$

解得 $\displaystyle d_2=\frac{x+y}{2S}=\frac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2+1}}$。

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选项A： 若 $d_1+d_2=\sqrt{2}$，即

$\frac{x+y+1}{\sqrt{x^2+y^2+1}}=\sqrt{2}$

显然 $(x,y)=(0,1)$ 和 $(x,y)=(1,0)$ 均满足，故 $\alpha$ 不唯一，A正确。

选项B： 若 $d_1+d_2=\sqrt{3}$，即

$\frac{x+y+1}{\sqrt{x^2+y^2+1}}=\sqrt{3}$

整理得 $(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2=0$，解得 $x=y=1$，唯一，故B错误。

选项C： 若 $d_1-d_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，即

$\frac{1-(x+y)}{\sqrt{x^2+y^2+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

显然 $(x,y)=(0,2-\sqrt3)$ 和 $(x,y)=(2-\sqrt3,0)$ 均满足，故 $\alpha$ 不唯一，C正确。

选项D： 若 $2d_1+d_2=\sqrt{6}$，即

$\frac{x+y+2}{\sqrt{x^2+y^2+1}}=\sqrt{6}$

整理得 $(x-y)^2+(2x-1)^2+(2y-1)^2=0$，解得 $x=y=\dfrac12$，唯一，故D错误。

答案：$\displaystyle AC$