每日一题：2026-05-21

题目

故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示．已知三棱柱$ABF-CDE$和$BDG-ACH$是两个完全相同的直三棱柱，侧棱$EF$与$GH$互相垂直平分，$AF=BF=a$，$AF\perp BF$，则点$G$到平面$ACEF$的距离是$\underline{\quad\quad}$．

参考解答

解析：

取$AC$中点$M$，连接$MI$，过$G$作$MI$的垂线交$MI$的延长线于点$K$，
取$AB$中点$N$，连接$FN$，
由已知，$M、I$分别为$AC、EF$中点，
因为$ABF-CDE$是直三棱柱，所以$AF \perp AC$，$EF\parallel AC$且$EF = AC$，
所以$FI\parallel AM$且$FI = AM$，所以四边形$AMIF$为平行四边形，
又$AF \perp AC$，所以$AMIF$为矩形，所以$EF \perp MK$，
又$EF \perp GH$，$MK \subset$平面$KIG$，$GH \subset$平面$KIG$，$MK \cap GH = I$，
所以$EF \perp$平面$KIG$，$KG \subset$平面$KIG$，所以$EF \perp KG$，
又因为$KG \perp MK$，$EF \subset$平面$ACEF$，$MK \subset$平面$ACEF$，$EF \cap MK = I$，
所以$KG \perp$平面$ACEF$，所以点$G$到平面$ACEF$的距离等于线段$KG$的长度，设为$h$，
$AF \perp BF$，在$\text{Rt}\triangle ABF$中，$AF = BF = a$，
所以$AB = \sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$，设$\angle FAB = \theta$，则有$\sin\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
因为四边形$AMIF$为平行四边形，所以$MI\parallel AF$，
又因为$BDG - ACH$是直三棱柱，所以$AB\parallel HG$，且$HG = AB = \sqrt{2}a$，
所以$\angle KIG = \angle FAB = \theta$，$IG=\frac{\sqrt{2}a}{2}$，
又因为$KG \perp$平面$ACEF$，$IK \subset$平面$ACEF$，所以$KG \perp IK$，
所以$\sin\theta=\frac{KG}{IG}=\frac{h}{\frac{\sqrt{2}}{2}a}$，即$\frac{h}{\frac{\sqrt{2}}{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得$h=\frac{a}{2}$。

答案：$\displaystyle \frac{a}{2}$