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每日一题：2026-05-22

题目

已知正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的体积为 636\sqrt{3}，AB=23AB=2\sqrt{3}，DD 是 B1C1B_1C_1 的中点，点 PP 是线段 A1DA_1D 上的动点，过 BCBC 且与 APAP 垂直的截面 α\alpha 与 APAP 交于点 EE，则三棱锥 P−BCEP-BCE 的体积的最小值为（ ）

A. 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}　　B. 32\dfrac{3}{2}　　C. 22　　D. 35\dfrac{3}{5}

参考解答

解析：

步骤 1：求正三棱柱的侧棱长度

正三棱柱底面是正三角形 ABCABC，底面积为：

S△ABC=34⋅AB2=34×(23)2=33S_{\triangle ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot AB^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2\sqrt{3})^2 = 3\sqrt{3}

由棱柱体积公式：

VABC−A1B1C1=S△ABC⋅AA1=33⋅AA1=63V_{ABC-A_1B_1C_1} = S_{\triangle ABC} \cdot AA_1 = 3\sqrt{3} \cdot AA_1 = 6\sqrt{3}

解得侧棱长度 AA1=2AA_1 = 2。

步骤 2：推导截面垂直关系

取 BCBC 中点 MM，由正三棱柱的性质可得：
AM⊥BCAM \perp BC，DM⊥BCDM \perp BC，且 AM∩DM=MAM \cap DM = M，
因此 BC⊥BC \perp 平面 AMDA1AMDA_1，故 BC⊥APBC \perp AP。

过 MM 作 ME⊥APME \perp AP，垂足为 EE，结合 BC⊥APBC \perp AP、ME∩BC=MME \cap BC = M，
可证 AP⊥AP \perp 平面 BECBEC，即平面 BECBEC 就是题目要求的截面 α\alpha。

步骤 3：割补法拆分体积

将待求三棱锥体积拆分为两个棱锥的差：

VP−BCE=VP−ABC−VE−ABCV_{P-BCE} = V_{P-ABC} - V_{E-ABC}

首先计算固定体积 VP−ABCV_{P-ABC}：点 PP 在 A1DA_1D 上，到底面 ABCABC 的距离恒等于侧棱长度 AA1=2AA_1=2，因此：

VP−ABC=13S△ABC⋅AA1=13×33×2=23V_{P-ABC} = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot AA_1 = \frac{1}{3} \times 3\sqrt{3} \times 2 = 2\sqrt{3}

再计算 VE−ABCV_{E-ABC}：设 EHEH 为点 EE 到底面 ABCABC 的垂直高度，则：

VE−ABC=13S△ABC⋅EH=13×33⋅EH=3⋅EHV_{E-ABC} = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot EH = \frac{1}{3} \times 3\sqrt{3} \cdot EH = \sqrt{3} \cdot EH

步骤 4：求体积最小值

由 AE⊥EMAE \perp EM，可知点 EE 的轨迹为平面 AMDA1AMDA_1 内以 AMAM 为直径的圆。

AMAM 是正三角形 ABCABC 的高：

AM=32×AB=3AM = \frac{\sqrt{3}}{2} \times AB = 3

因此圆的半径为 32\dfrac{3}{2}，故 EE 到底面的最大高度为圆的半径：

EH≤12AM=32EH \leq \frac{1}{2} AM = \frac{3}{2}

因此 VE−ABCV_{E-ABC} 的最大值为：

VE−ABC(max⁡)=3×32=332V_{E-ABC(\max)} = \sqrt{3} \times \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}

最终得 VP−BCEV_{P-BCE} 的最小值：

VP−BCE(min⁡)=23−332=32V_{P-BCE(\min)} = 2\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}

答案：32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}，选项 A。