每日一题：2026-05-22

题目

已知正三棱柱 的体积为 ，， 是 的中点，点 是线段 上的动点，过 且与 垂直的截面 与 交于点 ，则三棱锥 的体积的最小值为（ ）

A. 　　B. 　　C. 　　D.

参考解答

解析： **步骤 1：求正三棱柱的侧棱长度** 正三棱柱底面是正三角形 ，底面积为： 由棱柱体积公式： 解得侧棱长度 。 **步骤 2：推导截面垂直关系** 取 中点 ，由正三棱柱的性质可得： ，，且 ， 因此 平面 ，故 。 过 作 ，垂足为 ，结合 、， 可证 平面 ，即平面 就是题目要求的截面 。 **步骤 3：割补法拆分体积** 将待求三棱锥体积拆分为两个棱锥的差： 首先计算固定体积 ：点 在 上，到底面 的距离恒等于侧棱长度 ，因此： 再计算 ：设 为点 到底面 的垂直高度，则： **步骤 4：求体积最小值** 由 ，可知点 的轨迹为**平面 内以 为直径的圆**。 是正三角形 的高： 因此圆的半径为 ，故 到底面的最大高度为圆的半径： 因此 的最大值为： 最终得 的最小值： 答案：，选项 **A**。