每日一题：2026-05-23

题目

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$PA \perp$ 平面 $ABCD$，底面四边形 $ABCD$ 为直角梯形，$AD \parallel BC$，$AD \perp AB$，$PA=AB$，$M$ 为 $PC$ 中点，求证：$PB \perp DM$。

参考解答

注：图中红色辅助线 $AN$、$NM$ 为解题添加。

分析

要证 $PB \perp DM$，自然的思路是证明 $PB$ 垂直于 $DM$ 所在的一个平面。那么，$DM$ 在哪个平面中？如何构造这样的平面？

注意到 $M$ 是 $PC$ 中点，联想到中点可以构造中位线。取 $PB$ 中点 $N$，则 $MN \parallel BC \parallel AD$，说明 $M$、$N$、$A$、$D$ 四点共面。于是 $DM$ 在这个平面 $MNAD$ 中。

接下来只需证明 $PB \perp$ 平面 $MNAD$，即证 $PB$ 垂直于该平面内两条相交直线。平面 $MNAD$ 中有 $AN$ 和 $AD$ 两条现成的线：

• $AN \perp PB$：由 $PA=AB$ 得等腰三角形，三线合一；
• $AD \perp PB$：先由 $AD \perp AB$ 和 $PA \perp AD$ 得 $AD \perp$ 平面 $PAB$，从而 $AD \perp PB$。

两条相交直线都垂直 $PB$，则 $PB \perp$ 平面 $MNAD$，结论得证。

证明

取 $PB$ 中点 $N$，连结 $AN$、$MN$。

$\because PA = AB$，$N$ 为 $PB$ 中点，
$\therefore AN \perp PB$（等腰三角形三线合一）。

$\because PA \perp$ 平面 $ABCD$，$AD \subset$ 平面 $ABCD$，
$\therefore PA \perp AD$。

又 $\because AD \perp AB$，$PA \cap AB = A$，$PA, AB \subset$ 平面 $PAB$，
$\therefore AD \perp$ 平面 $PAB$。

$\because PB \subset$ 平面 $PAB$，
$\therefore AD \perp PB$。

在 $\triangle PBC$ 中，$M$、$N$ 分别为 $PC$、$PB$ 中点，
$\therefore MN \parallel BC$。

$\because AD \parallel BC$，
$\therefore MN \parallel AD$。
故 $M$、$N$、$A$、$D$ 四点共面，记该平面为 $\alpha$，则 $DM \subset \alpha$。

$\because AN \perp PB$，$AD \perp PB$，且 $AN \cap AD = A$，$AN, AD \subset \alpha$，
$\therefore PB \perp$ 平面 $\alpha$。

$\because DM \subset \alpha$，
$\therefore PB \perp DM$。

答案：已证明 $PB \perp DM$。