题目
如图，正方体 的棱长为 4，， 分别是 ， 上的点，且 ，。
(1) 求直线 与 所成角的余弦值。
(2) 设 是线段 上的动点（含端点）。
（i）判断三棱锥 的体积是否为定值。若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值。
（ii）当 平面 时，求 的值。
参考解答
解析：
### (1) 求异面直线 与 所成角的余弦值
过点 作 交 于 ，连接 。
由正方体 的对角面 是矩形，得 ，则 ，故 即为直线 与 所成的角或其补角。
由 ，，得 ，，，。
在 中，由余弦定理：
所以直线 与 所成角的余弦值为 。
### (2) 设 是线段 上的动点
#### （i）判断三棱锥 的体积是否为定值
三棱锥 的体积**不是定值**。
**证明：** 假设体积是定值，则线段 上任意一点到平面 的距离都相等。又 平面 ，于是 平面 。
由 (1) 知 ，且 平面 ，则 平面 。
而 ， 平面 ，则平面 平面 。
取 中点 ，连接 。易知 为 的中点，则 。又 与平面 交于点 ，于是 与平面 相交，这与 平面 平面 矛盾。
故假设不成立，三棱锥 的体积不是定值。
**求最小值：** 由图知，线段 在平面 的同侧，且在线段 的所有点中， 到平面 的距离最小，则当 与 重合时，三棱锥 的体积最小。
此时
所以三棱锥 体积的最小值为 。
#### （ii）当 平面 时，求
连接 ，，。
由正方体 的对角面 是矩形，得 ，且 平面 ，则 平面 。
同理 平面 。
而 ， 平面 ，因此平面 平面 。
此时线段 平面 ，满足 平面 。
设 ， 到平面 的距离分别为 ，，则 。
是边长为 的等边三角形，则
由 ，得
解得 。
由 ，得
解得 。
所以
答案：
(1)
(2)（i）不是定值，最小值为
（ii）