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每日一题：2026-05-24

题目

如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的棱长为 4，EE，FF 分别是 CC1CC_1，A1D1A_1D_1 上的点，且 CE=1CE=1，A1F=2A_1F=2。

(1) 求直线 A1BA_1B 与 EFEF 所成角的余弦值。

(2) 设 GG 是线段 EFEF 上的动点（含端点）。

（i）判断三棱锥 G−A1BDG-A_1BD 的体积是否为定值。若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值。

（ii）当 CG∥CG\parallel 平面 A1BDA_1BD 时，求 EGFG\dfrac{EG}{FG} 的值。

参考解答

解析：

(1) 求异面直线 A1BA_1B 与 EFEF 所成角的余弦值

过点 EE 作 EM∥D1CEM\parallel D_1C 交 C1D1C_1D_1 于 MM，连接 FMFM。

由正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的对角面 A1BCD1A_1BCD_1 是矩形，得 D1C∥A1BD_1C\parallel A_1B，则 EM∥A1BEM\parallel A_1B，故 ∠FEM\angle FEM 即为直线 A1BA_1B 与 EFEF 所成的角或其补角。

由 CE=1CE=1，A1F=2A_1F=2，得 D1M=1D_1M=1，FM=5FM=\sqrt{5}，EM=32EM=3\sqrt{2}，EF=29EF=\sqrt{29}。

在 △EFM\triangle EFM 中，由余弦定理：

cos⁡∠FEM=EF2+EM2−FM22⋅EF⋅EM=29+18−52×29×32=42658=75858.\cos\angle FEM = \frac{EF^{2}+EM^{2}-FM^{2}}{2\cdot EF\cdot EM} = \frac{29+18-5}{2\times\sqrt{29}\times 3\sqrt{2}} = \frac{42}{6\sqrt{58}} = \frac{7\sqrt{58}}{58}.

所以直线 A1BA_1B 与 EFEF 所成角的余弦值为 75858\displaystyle\frac{7\sqrt{58}}{58}。

(2) 设 GG 是线段 EFEF 上的动点

（i）判断三棱锥 G−A1BDG-A_1BD 的体积是否为定值

三棱锥 G−A1BDG-A_1BD 的体积不是定值。

证明： 假设体积是定值，则线段 EFEF 上任意一点到平面 A1BDA_1BD 的距离都相等。又 EF⊄EF\not\subset 平面 A1BDA_1BD，于是 EF∥EF\parallel 平面 A1BDA_1BD。

由 (1) 知 EM∥A1BEM\parallel A_1B，且 EM⊄EM\not\subset 平面 A1BDA_1BD，则 EM∥EM\parallel 平面 A1BDA_1BD。

而 EF∩EM=EEF\cap EM=E，EF,EM⊂EF,EM\subset 平面 EFMEFM，则平面 EFM∥EFM\parallel 平面 A1BDA_1BD。

取 C1D1C_1D_1 中点 NN，连接 A1NA_1N。易知 MM 为 D1ND_1N 的中点，则 FM∥A1NFM\parallel A_1N。又 A1NA_1N 与平面 A1BDA_1BD 交于点 A1A_1，于是 FMFM 与平面 A1BDA_1BD 相交，这与 FM⊂FM\subset 平面 EFM∥EFM\parallel 平面 A1BDA_1BD 矛盾。

故假设不成立，三棱锥 G−A1BDG-A_1BD 的体积不是定值。

求最小值： 由图知，线段 EFEF 在平面 A1BDA_1BD 的同侧，且在线段 EFEF 的所有点中，FF 到平面 A1BDA_1BD 的距离最小，则当 GG 与 FF 重合时，三棱锥 G−A1BDG-A_1BD 的体积最小。

此时

VG−A1BD=VF−A1BD=VB−A1DF=13×12×2×4×4=163.V_{G-A_1BD}=V_{F-A_1BD}=V_{B-A_1DF} = \frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times 2\times 4\times 4 = \frac{16}{3}.

所以三棱锥 G−A1BDG-A_1BD 体积的最小值为 163\displaystyle\frac{16}{3}。

（ii）当 CG∥CG\parallel 平面 A1BDA_1BD 时，求 EGFG\dfrac{EG}{FG}

连接 B1CB_1C，B1D1B_1D_1，CD1CD_1。

由正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的对角面 BB1D1DBB_1D_1D 是矩形，得 B1D1∥BDB_1D_1\parallel BD，且 B1D1⊄B_1D_1\not\subset 平面 A1BDA_1BD，则 B1D1∥B_1D_1\parallel 平面 A1BDA_1BD。

同理 B1C∥B_1C\parallel 平面 A1BDA_1BD。

而 B1D1∩B1C=B1B_1D_1\cap B_1C=B_1，B1D1,B1C⊂B_1D_1,B_1C\subset 平面 B1CD1B_1CD_1，因此平面 B1CD1∥B_1CD_1\parallel 平面 A1BDA_1BD。

此时线段 EF∩EF\cap 平面 B1CD1=GB_1CD_1=G，满足 CG∥CG\parallel 平面 A1BDA_1BD。

设 EE，FF 到平面 B1CD1B_1CD_1 的距离分别为 d1d_1，d2d_2，则 EGFG=d1d2\displaystyle\frac{EG}{FG}=\frac{d_1}{d_2}。

△B1CD1\triangle B_1CD_1 是边长为 424\sqrt{2} 的等边三角形，则

S△B1CD1=34×(42)2=83.S_{\triangle B_1CD_1} = \frac{\sqrt{3}}{4}\times (4\sqrt{2})^{2} = 8\sqrt{3}.

由 VE−B1CD1=VD1−B1CEV_{E-B_1CD_1} = V_{D_1-B_1CE}，得

13×83 d1=13×12×1×4×4,\frac{1}{3}\times 8\sqrt{3}\,d_1 = \frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times 1\times 4\times 4,

解得 d1=33d_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{3}。

由 VF−B1CD1=VC−B1D1FV_{F-B_1CD_1} = V_{C-B_1D_1F}，得

13×83 d2=13×12×2×4×4,\frac{1}{3}\times 8\sqrt{3}\,d_2 = \frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times 2\times 4\times 4,

解得 d2=233d_2 = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}。

所以

EGFG=d1d2=12.\frac{EG}{FG} = \frac{d_1}{d_2} = \frac{1}{2}.

答案：

(1) 75858\displaystyle\frac{7\sqrt{58}}{58}

(2)（i）不是定值，最小值为 163\displaystyle\frac{16}{3}
（ii）12\displaystyle\frac{1}{2}