每日一题：2026-05-25

题目

如图，在四棱锥$P-ABCD$中，$\triangle PAD$和$\triangle BAD$均为正三角形，$AD\perp DC$，$AD\parallel BC$，$AB=2$，$M$为$PC$上一点，设平面$PAD$与平面$PBC$的交线为$l$.

(1) 证明$l\parallel$面$ABCD$；
(2) 当$PA\parallel$平面$DMB$时，面$DAM$与$PB$交于$Q$，求$\dfrac{V_{P-AQMD}}{V_{P-ABCD}}$的值；

参考解答

解析：

(1) 证明

$\because BC\parallel AD$，$BC\not\subset$平面$PAD$，$AD\subset$平面$PAD$，
$\therefore BC\parallel$面$PAD$，
$\because BC\subset$面$PBC$，面$PBC\cap$面$PAD=l$，
$\therefore BC\parallel l$，
$\because l\not\subset$面$ABCD$，$BC\subset$面$ABCD$，
$\therefore l\parallel$面$ABCD$。

(2) 求体积比

连接$AC$交$BD$于点$N$，连接$MN$，作$MQ\parallel AD$交$PB$于$Q$，
设$\overrightarrow{PM}=\lambda\overrightarrow{MC}$，
$\because PA\parallel$平面$BDM$，$PA\subset$平面$PAC$，平面$PAC\cap$平面$BDM=MN$，
$\therefore PA\parallel MN$，
在梯形$ABCD$中，$\because BC\parallel AD$，
$\therefore \triangle ADN \backsim \triangle CBN$，
$\therefore \dfrac{CN}{AN}=\dfrac{CB}{AD}=\dfrac{1}{2}$，
$\because PA\parallel MN$，
$\therefore \dfrac{PM}{MC}=\dfrac{AN}{CN}=2$，即$\lambda=2$，
可得：

故$\dfrac{V_{P-AQMD}}{V_{P-ABCD}}=\dfrac{16}{27}$。

答案：
(1) 证明见解析
(2) $\displaystyle\dfrac{16}{27}$