题目
如图，在三棱锥中，，，，记二面角的大小为，，分别为，的中点。
(1) 求证：；
(2) 用，表示三棱锥的体积；
(3) 设在三棱锥内有一个半径为的球，，且，求证：。
参考解答
解析：
### (1) 求证
取中点，连接，。
因为，分别为，的中点，则，。
因为，所以，。
又，平面，所以平面。
又平面，所以。
### (2) 用，表示三棱锥的体积
由 (1) 知，平面，
又平面，所以平面平面，交线为。
过作于。
因为平面，所以平面，即为三棱锥的高。
因为、分别为、中点，所以，。
又平面，所以即为二面角的平面角，则，
在中，。
因为为中点，所以
所以
### (3) 求证
作于，由 (2) 知，，
过作交于，则，四边形为矩形，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
在中，
设的高为，所以，
又，，所以，
即
所以三棱锥的表面积
又
所以三棱锥的内切球半径
因此
故。
答案：
(1) 证明见解析
(2)
(3) 证明见解析