每日一题：2026-05-27

题目

在长方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，其中$ABCD$是正方形，已知$AB=1$，$AA_{1}>1$．设点$A$到直线$A_{1}C$的距离和到平面$DCB_{1}A_{1}$的距离分别为$d_{1}$，$d_{2}$，则$\frac{d_{1}}{d_{2}}$的取值范围是$\underline{\quad\quad}$．

参考解答

解析：

设$AA_{1}=a$，$a>1$，
在$\text{Rt} \triangle A_{1}AC$中，由等面积法得点$A$到直线$A_{1}C$的距离：

$d_{1}=\frac{A_{1}A \cdot AC}{A_{1}C}=\frac{a \times \sqrt{2}}{\sqrt{a^{2}+2}}=\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{a^{2}+2}}$

连接$A_{1}D$，过$A$作$AE \perp A_{1}D$，
因为$CD \perp$平面$ADD_{1}A_{1}$，$AE \subset$平面$ADD_{1}A_{1}$，所以$CD \perp AE$，
又$CD \cap A_{1}D=D$，$CD,A_{1}D \subset$平面$DCB_{1}A_{1}$，
所以$AE \perp$平面$DCB_{1}A_{1}$，即$AE$是点$A$到平面$DCB_{1}A_{1}$的距离：

$d_{2}=AE=\frac{AA_{1} \cdot AD}{A_{1}D}=\frac{a \cdot 1}{\sqrt{a^{2}+1}}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}$

因此：

$\frac{d_{1}}{d_{2}}=\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{a^{2}+1}}{\sqrt{a^{2}+2}}=\frac{\sqrt{2(a^{2}+2)-2}}{\sqrt{a^{2}+2}}=\sqrt{2-\frac{2}{a^{2}+2}}$

因为$a>1$，所以$a^{2}+2>3$，故$0<\frac{2}{a^{2}+2}<\frac{2}{3}$，
所以$2-\frac{2}{a^{2}+2} \in \left( \frac{4}{3},2 \right)$，故$\frac{d_{1}}{d_{2}} \in \left( \frac{2\sqrt{3}}{3},\sqrt{2} \right)$．

答案：$\displaystyle \left( \frac{2\sqrt{3}}{3},\sqrt{2} \right)$