题目
正四棱锥 的底面正方形边长是 ， 是 在底面上的射影，， 是 上的一点，，过 且与 、 都平行的截面为五边形 ．
(1) 在图中作出截面 （写出作图过程）；
(2) 求该截面面积．
参考解答
解析：
### (1) 作图过程
过 作 ，交 于点 ，交 于点 ；
过 作 ，交 于点 ；
过点 作 ，交 于点 ；
过点 作 ，交 于点 ；
连接 、、，则五边形 即为所求截面．
**作图依据：**
由于 ，，，故 ，
所以 五点共面，且 在该平面内．
又 ， 平面 ，故 平面 ；
同理 平面 ．
因此截面 满足过点 且与 、 都平行．
### (2) 截面面积计算
**① 基本几何关系**
为正四棱锥，底面 是边长为 的正方形， 为底面中心．
底面正方形对角线：
到顶点的距离：
侧棱长：
**② 关键线段长度**
由 得：
作图知 ，（正方形对角线互相垂直），故 ，
即 于点 ．
，，，
故 为等腰直角三角形，直角顶点为 ，斜边为 ， 为斜边中点．
**③ 截面各边长度**
， 在 上．由 为等腰直角三角形且 ，
结合 得 为 中点（），故：
，同理得 ．
， 在 上， 在 上：
且 （由对称性），故 ．
**④ 截面形状与面积**
（ 底面 ，又 ，
平面 ），且 ，，
，即 ，截面中四边形 为直角梯形．
同理四边形 也为直角梯形，且 （， 公用），
故两直角梯形全等．
每个直角梯形的面积为：
截面 由两个全等的直角梯形组成：
答案：
- (1) 作图过程见上述作法．
- (2) 截面面积为 ．