每日一题：2026-06-02

题目

正四棱锥 $P-ABCD$ 的底面正方形边长是 $4$，$O$ 是 $P$ 在底面上的射影，$PO=2\sqrt{2}$，$Q$ 是 $AC$ 上的一点，$\overrightarrow{AQ}=\dfrac14\overrightarrow{AC}$，过 $Q$ 且与 $PA$、$BD$ 都平行的截面为五边形 $EFGHL$．

(1) 在图中作出截面 $EFGHL$（写出作图过程）；

(2) 求该截面面积．

参考解答

解析：

(1) 作图过程

过 $Q$ 作 $EL\parallel BD$，交 $AB$ 于点 $E$，交 $AD$ 于点 $L$；

过 $Q$ 作 $GQ\parallel PA$，交 $PC$ 于点 $G$；

过点 $E$ 作 $EF\parallel PA$，交 $PB$ 于点 $F$；

过点 $L$ 作 $HL\parallel PA$，交 $PD$ 于点 $H$；

连接 $FG$、$GH$、$FH$，则五边形 $EFGHL$ 即为所求截面．

作图依据：

由于 $EF\parallel PA$，$HL\parallel PA$，$GQ\parallel PA$，故 $EF\parallel HL\parallel GQ$，

所以 $E,F,G,H,L$ 五点共面，且 $Q$ 在该平面内．

又 $EL\parallel BD$，$EL\subset$ 平面 $EFGHL$，故 $BD\parallel$ 平面 $EFGHL$；

同理 $PA\parallel$ 平面 $EFGHL$．

因此截面 $EFGHL$ 满足过点 $Q$ 且与 $PA$、$BD$ 都平行．$\blacksquare$

(2) 截面面积计算

① 基本几何关系

$P-ABCD$ 为正四棱锥，底面 $ABCD$ 是边长为 $4$ 的正方形，$O$ 为底面中心．

底面正方形对角线：

$AC = BD = 4\sqrt{2}$

$O$ 到顶点的距离：

$OA = \frac12 AC = 2\sqrt{2}$

侧棱长：

$PA = \sqrt{PO^2 + OA^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8+8} = 4$

② 关键线段长度

由 $\overrightarrow{AQ} = \dfrac14\overrightarrow{AC}$ 得：

$AQ = \frac14\cdot 4\sqrt{2} = \sqrt{2},\qquad QC = 3\sqrt{2}$

作图知 $EL\parallel BD$，$BD\perp AC$（正方形对角线互相垂直），故 $EL\perp AC$，
即 $AQ\perp EL$ 于点 $Q$．

$\because\ EL\parallel BD$，$\therefore\ \triangle AEL\sim\triangle ABD$，$\angle EAL=45^\circ$，

故 $\triangle AEL$ 为等腰直角三角形，直角顶点为 $A$，斜边为 $EL$，$Q$ 为斜边中点．

$EQ = QL = AQ = \sqrt{2},\qquad EL = 2\sqrt{2}$

③ 截面各边长度

$EF\parallel PA$，$E$ 在 $AB$ 上．由 $\triangle AEL$ 为等腰直角三角形且 $AE = AL$，
结合 $AB=AD=4$ 得 $E$ 为 $AB$ 中点（$AE=2$），故：

$\frac{EF}{PA} = \frac{BE}{BA} = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad EF = \frac12 PA = 2$

$HL\parallel PA$，同理得 $HL = 2$．

$GQ\parallel PA$，$Q$ 在 $AC$ 上，$G$ 在 $PC$ 上：

$\frac{GQ}{PA} = \frac{CQ}{CA} = \frac34 \quad\Longrightarrow\quad GQ = \frac34 PA = 3$

$EL\parallel BD$ 且 $FH\parallel BD$（由对称性），故 $FH\parallel EL$．

④ 截面形状与面积

$\because\ PA\perp BD$（$PO\perp$ 底面 $ABCD$ $\Rightarrow$ $PO\perp BD$，又 $AC\perp BD$，
$\therefore\ BD\perp$ 平面 $PAC$ $\Rightarrow$ $BD\perp PA$），且 $EF\parallel PA$，$EL\parallel BD$，

$\therefore\ EF\perp EL$，即 $\angle FEL = 90^\circ$，截面中四边形 $EFGQ$ 为直角梯形．

同理四边形 $LHGQ$ 也为直角梯形，且 $\triangle PFG\cong\triangle PHG$（$PF=PH$，$PG$ 公用），
故两直角梯形全等．

每个直角梯形的面积为：

$S_{\text{梯形}} = \frac12(EF + GQ)\cdot EQ = \frac12(2+3)\cdot\sqrt{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

截面 $EFGHL$ 由两个全等的直角梯形组成：

$S = 2\times \frac{5\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$

答案：

• (1) 作图过程见上述作法．
• (2) 截面面积为 $\displaystyle 5\sqrt{2}$．