题目
求证：各面面积相等的四面体是等腰四面体．
参考解答
解析：
思路分析：
先证四面体中，取内切球与四个面的切点，有公共棱的两个面上的切点对此公共棱张角相等；再通过展开图得到角度关系；最后利用四个面面积相等，推导对棱相等，从而得证．
（1）内切球与切点性质
如图所示， 为此四面体内切球球心，内切球半径为 ，
、 分别为切球与面 、 的切点．
则 ，且 平面 ， 平面 ．
所以 ，（从球外一点向球引的切线长相等），
．
即取内切球与四个面的切点，有公共棱的两个面上的切点对此公共棱张角相等．
（2）展开图与角度关系
把此四面体展开如图所示，作出其内切球与每个面相切的切点与此面上三个顶点的连线．
于是有：
由此四式，可得：
（3）利用面积相等
由四个面的面积相等（三角形面积公式 ），得
以 ① 代入，得
由 ② 的前两式，得
由 ② 的后两式，得
比较 ③、④，得 ，，，，
同理可得 ，于是 ．
于是可得 ，，，
即四面体 是等腰四面体．
答案：证明见解析．