每日一题：2026-06-03

题目

求证：各面面积相等的四面体是等腰四面体．

参考解答

解析：

思路分析：

先证四面体中，取内切球与四个面的切点，有公共棱的两个面上的切点对此公共棱张角相等；再通过展开图得到角度关系；最后利用四个面面积相等，推导对棱相等，从而得证．

（1）内切球与切点性质

如图所示，$O$ 为此四面体内切球球心，内切球半径为 $r$，
$O_1$、$O_2$ 分别为切球与面 $BCD$、$ACD$ 的切点．

则 $OO_1=OO_2=r$，且 $OO_1\perp$ 平面 $BCD$，$OO_2\perp$ 平面 $ACD$．

所以 $CO_1=CO_2$，$DO_1=DO_2$（从球外一点向球引的切线长相等），
$\angle CO_1D=\angle CO_2D$．

即取内切球与四个面的切点，有公共棱的两个面上的切点对此公共棱张角相等．

（2）展开图与角度关系

把此四面体展开如图所示，作出其内切球与每个面相切的切点与此面上三个顶点的连线．

于是有：

$\alpha+\beta+\gamma = \alpha+\delta+\varphi = \beta+\delta+\theta = \gamma+\theta+\varphi = 360^\circ$

由此四式，可得：

$\beta+\gamma=\delta+\varphi,\quad \beta+\delta=\gamma+\varphi \quad\Longrightarrow\quad \beta=\varphi,\ \theta=\alpha,\ \gamma=\delta \qquad ①$

（3）利用面积相等

由四个面的面积相等（三角形面积公式 $S=\frac12 ab\sin C$），得

$\begin{aligned} &bd\sin\alpha+bc\sin\beta+cd\sin\gamma \\ &= bd\sin\alpha+ab\sin\delta+ad\sin\varphi \\ &= bc\sin\beta+ab\sin\delta+ac\sin\theta \\ &= cd\sin\gamma+ad\sin\varphi+ac\sin\theta \end{aligned}$

以 ① 代入，得

$\begin{aligned} &bd\sin\alpha+bc\sin\beta+cd\sin\gamma \\ &= bd\sin\alpha+ab\sin\gamma+ad\sin\beta \\ &= bc\sin\beta+ab\sin\gamma+ac\sin\alpha \\ &= cd\sin\gamma+ad\sin\beta+ac\sin\alpha \end{aligned} \qquad ②$

由 ② 的前两式，得

$bc\sin\beta+cd\sin\gamma=ab\sin\gamma+ad\sin\beta \quad\Longrightarrow\quad (bc-ad)\sin\beta=(ab-cd)\sin\gamma \qquad ③$

由 ② 的后两式，得

$bc\sin\beta+ab\sin\gamma=cd\sin\gamma+ad\sin\beta \quad\Longrightarrow\quad (bc-ad)\sin\beta=(cd-ab)\sin\gamma \qquad ④$

比较 ③、④，得 $ab=cd$，$bc=ad$，$\Longrightarrow b=d$，$a=c$，
同理可得 $b=c$，于是 $a=b=c=d$．

于是可得 $AB=CD$，$AC=BD$，$AD=BC$，
即四面体 $ABCD$ 是等腰四面体．$\blacksquare$

答案：证明见解析．