每日一题：2026-06-04

题目

球面三角是研究球面三角形的边、角关系的一门科学．从十六世纪起由于天文学、航海学、测量学等方面的发展，球面三角逐渐形成了独立学科．球面上的三个点，每两点之间用球的大圆劣弧相连接，三段弧所围成的球面部分称为球面三角形．如图，球 $O$ 的半径为 $1$，$A$，$B$，$C$ 为球面上三点且不在同一个大圆上，$\triangle ABC$ 中，三内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$．球面 $\triangle ABC$ 中，$BC$，$AC$，$AB$ 的弧长分别记为 $\widehat a$，$\widehat b$，$\widehat c$，线段 $OA$，$OB$，$OC$ 与球面 $\triangle ABC$ 围成的封闭几何体叫作球面三棱锥，记为球面 $O-ABC$．设 $\angle BOC=\alpha$，$\angle AOC=\beta$，$\angle AOB=\gamma$，则下列结论正确的是（ ）

A．$\sin\dfrac{\alpha}{2}+\sin\dfrac{\beta}{2}>\sin\dfrac{\gamma}{2}$

B．若 $\widehat a^2+\widehat b^2=\widehat c^2$，则 $\alpha^2+\beta^2=\gamma^2$

C．若 $a^2+b^2=c^2$，则 $\widehat a^2+\widehat b^2=\widehat c^2$

D．若 $\widehat a=\widehat b=\widehat c=\dfrac{\pi}{3}$，则球面 $O-ABC$ 的体积 $V>\dfrac{\sqrt2}{12}$

参考解答

解析：

A 选项：

由 $a+b>c$，$a=2\sin\dfrac{\alpha}{2}$，$b=2\sin\dfrac{\beta}{2}$，$c=2\sin\dfrac{\gamma}{2}$，得

$2\sin\dfrac{\alpha}{2}+2\sin\dfrac{\beta}{2}>2\sin\dfrac{\gamma}{2} \quad\Longrightarrow\quad \sin\dfrac{\alpha}{2}+\sin\dfrac{\beta}{2}>\sin\dfrac{\gamma}{2}$

故 A 正确．

B 选项：

$\because\ \widehat a=\alpha$，$\widehat b=\beta$，$\widehat c=\gamma$，

$\therefore$ 由 $\widehat a^2+\widehat b^2=\widehat c^2$ 得 $\alpha^2+\beta^2=\gamma^2$，故 B 正确．

C 选项：

由 $a^2+b^2=c^2$ 得

$4\sin^2\dfrac{\alpha}{2}+4\sin^2\dfrac{\beta}{2}=4\sin^2\dfrac{\gamma}{2} \quad\Longrightarrow\quad \sin^2\dfrac{\alpha}{2}+\sin^2\dfrac{\beta}{2}=\sin^2\dfrac{\gamma}{2}$

利用 $\sin^2\dfrac{x}{2}=\dfrac{1-\cos x}{2}$，得

$\dfrac{1-\cos\alpha}{2}+\dfrac{1-\cos\beta}{2}=\dfrac{1-\cos\gamma}{2} \quad\Longrightarrow\quad \cos\alpha+\cos\beta-\cos\gamma=1$

取 $\alpha=\beta=\dfrac{\pi}{3}$，$\gamma=\dfrac{\pi}{2}$，满足 $\cos\alpha+\cos\beta-\cos\gamma=1$，

此时 $\widehat a^2+\widehat b^2=\dfrac{2\pi^2}{9}$，$\widehat c^2=\dfrac{\pi^2}{4}$，$\therefore\ \widehat a^2+\widehat b^2<\widehat c^2$，故 C 错误．

D 选项：

$\because\ \widehat a=\widehat b=\widehat c=\dfrac{\pi}{3}$，$\therefore\ \alpha=\beta=\gamma=\dfrac{\pi}{3}$，$\therefore\ a=b=c=1$，

则平面 $\triangle ABC$ 的面积为 $\dfrac{\sqrt3}{4}a^2=\dfrac{\sqrt3}{4}$，

此时三棱锥 $O-ABC$ 为边长为 $1$ 的正四面体，取 $BC$ 的中点 $D$，连接 $AD$，

过点 $O$ 作 $OP\perp$ 平面 $ABC$，交 $AD$ 于点 $P$，

其中 $AD=\dfrac{\sqrt3}{2}$，$AP=\dfrac{2}{3}AD=\dfrac{\sqrt3}{3}$，

故 $OP=\sqrt{AO^2-AP^2}=\sqrt{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt6}{3}$，

所以 $O$ 到平面 $ABC$ 的距离 $h=\dfrac{\sqrt6}{3}$，

三棱锥 $O-ABC$ 的体积

$V_{O-ABC}=\frac13 S_{\triangle ABC}\cdot h=\frac13\cdot\frac{\sqrt3}{4}\cdot\frac{\sqrt6}{3}=\frac{\sqrt2}{12}$

则球面 $O-ABC$ 的体积 $V>V_{O-ABC}=\dfrac{\sqrt2}{12}$，故 D 正确．

答案：ABD