每日一题：2026-06-05

题目

与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，两个垂足之间的线段叫做公垂线段，已知任意两条异面直线有且仅有一条公垂线段，且公垂线段是分别连接两条异面直线上两点的线段中最短的一条．如图，在四面体 $ABCD$ 中，$AD$ 是异面直线 $AB$ 和 $CD$ 的公垂线段，$r$ 为四面体 $ABCD$ 的内切球半径，则（ ）

A．$\displaystyle r<\dfrac{AB\cdot CD}{2(AB+CD)}$

B．$\displaystyle r<\dfrac{AB\cdot CD}{4(AB+CD)}$

C．$\displaystyle r<\dfrac{AB\cdot CD\cdot AD}{2(AB+CD+AD)}$

D．$\displaystyle r<\dfrac{AB\cdot CD\cdot AD}{6(AB+CD+AD)}$

参考解答

解析：

设四面体 $ABCD$ 的体积为 $V$，表面积为 $S$，则根据等体积法得

$V=\frac13 Sr$

又

$S=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}+S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}$

由于 $AD$ 是异面直线 $AB$ 和 $CD$ 的公垂线段，所以

$S_{\triangle BCD}=\frac12 CD\cdot d_{B-CD}>\frac12 CD\cdot AD=S_{\triangle ACD}$

$S_{\triangle ABC}=\frac12 AB\cdot d_{C-AB}>\frac12 AB\cdot AD=S_{\triangle ABD}$

因此

$S>2(S_{\triangle ACD}+S_{\triangle ABD})=AD\cdot(CD+AB)$

从而

$V=\frac13 Sr>\frac{r}{3}AD\cdot(AB+CD)$

将四面体补全成直三棱柱，可得

$V<\frac13\times\frac12 AB\cdot AD\cdot CD$

所以

$\frac{r}{3}AD\cdot(AB+CD)<\frac13\times\frac12 AB\cdot AD\cdot CD$

整理得

$r<\frac{AB\cdot CD}{2(AB+CD)}$

答案：A