每日一题：2026-06-06

题目

定义：多面体 在点 处的离散曲率为

$$\Phi_P=1-\frac{1}{2\pi}\bigl(\angle Q_1PQ_2+\angle Q_2PQ_3+\cdots+\angle Q_{k-1}PQ_k+\angle Q_kPQ_1\bigr)$$

其中 为多面体 的一个顶点，$Qii=1,2,\cdots,kk\ge3k\in\mathbf N^*MPQ_1PQ_2Q_2PQ_3\cdotsQ{k-1}PQ_kQ_kPQ_1MPP-ABCDPD\perpABCDABCDCD=2DP=2\sqrt3$．

(1) 求四棱锥 在顶点 处的离散曲率；

(2) 求四棱锥 内切球的表面积；

(3) 若 是棱 上的一个动点，求直线 与平面 所成角的取值范围．

参考解答

解析： （1）顶点 处的离散曲率 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 又 ，， 平面 ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以 ，即 ， 由离散曲率的定义得 （2）内切球的表面积 因为四边形 为正方形，则 ， 因为 平面 ， 平面 ，则 ， 因为 ， 平面 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ， 设四棱锥 的表面积为 ，则 设四棱锥 的内切球半径为 ，则由等体积法得 所以 内切球的表面积 （3）直线 与平面 所成角的取值范围 过 点作 交 于点 ，连接 ， 因为 平面 ，所以 平面 ， 则 为直线 与平面 所成的角． 当 与 重合时，． 当 与 不重合时，设 ， 在 中，由余弦定理得 因为 ，所以 ， 所以 当分母 最小时， 最大， 此时 （ 与 重合）， 由 得 ，即 ， 所以 的最大值为 ， 故直线 与平面 所成角的取值范围为 ． 答案： - (1) - (2) 内切球表面积 - (3)