每日一题：2026-06-07

题目

定义：对棱相等的四面体为等腰四面体．等腰四面体可以由长方体切割产生，如图．在等腰四面体 $ABCD$ 中，

(1) 有几对棱长相等？请分别写出这几对相等的棱；

(2) 求证：等腰四面体每个面的三角形均为锐角三角形；

(3) 设等腰四面体 $ABCD$ 的三个侧面与底面所成的角分别为 $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ ，请判断 $\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma$ 是否为定值？如果是定值请写出该定值；如果不是定值请说明理由．

参考解答

解析：

（1）相等的棱

等腰四面体对棱相等，四面体 $ABCD$ 有 6 条棱 $AB$ ， $AC$ ， $AD$ ， $BC$ ， $BD$ ， $CD$ ，
可分成 3 组对棱：

AB=CD,\qquad AC=BD,\qquad AD=BC

所以有 3 对 棱长相等．

（2）各面均为锐角三角形

设等腰四面体 $ABCD$ 的棱长 $AB=CD=a$ ， $AC=BD=b$ ， $AD=BC=c$ ．

对于 $\triangle ABC$ ，由余弦定理

\cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC} =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

因为 $a+b>c$ ， $|a-b|<c$ ，所以 $a^2+b^2-c^2>0$ ， $\cos A>0$ ， $\angle A$ 为锐角．

同理 $\cos B>0$ ， $\cos C>0$ ，所以 $\triangle ABC$ 是锐角三角形．

同理可证 $\triangle ABD$ 、 $\triangle ACD$ 、 $\triangle BCD$ 也都是锐角三角形．

（3） $\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma$ 是否为定值

过 $A$ 作 $AO\perp$ 平面 $BCD$ 交平面 $BCD$ 于点 $O$ ，则 $AO\perp CD$ ．

过 $O$ 作 $OE\perp CD$ 交 $CD$ 于 $E$ ，所以 $CD\perp$ 平面 $AOE$ ，则 $AE\perp CD$ ．

所以 $\angle AEO$ 为面 $ACD$ 与底面 $BCD$ 所成的角，设 $\angle AEO=\alpha$ ，

\cos\alpha=\cos\angle AEO =\frac{|OE|}{|AE|} =\frac{\dfrac12\times|OE|\times|CD|}{\dfrac12\times|AE|\times|CD|} =\frac{S_{\triangle COD}}{S_{\triangle ACD}}

设面 $ABC$ 、 $ABD$ 与底面 $BCD$ 所成的角分别为 $\beta$ 、 $\gamma$ ，同理可得

\cos\beta=\frac{S_{\triangle OBC}}{S_{\triangle ABC}},\qquad \cos\gamma=\frac{S_{\triangle OBD}}{S_{\triangle ABD}}

又 $\triangle ABC\cong\triangle ABD\cong\triangle ACD\cong\triangle BCD$ （三边对应相等），

所以

\begin{aligned} \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma &= \frac{S_{\triangle COD}}{S_{\triangle ACD}} + \frac{S_{\triangle OBC}}{S_{\triangle ABC}} + \frac{S_{\triangle OBD}}{S_{\triangle ABD}} \\ &= \frac{S_{\triangle BCD}}{S_{\triangle BCD}} \\ &= 1 \end{aligned}

故 $\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma$ 为定值 $1$ ．

答案：