每日一题：2026-06-07

题目

定义：对棱相等的四面体为等腰四面体．等腰四面体可以由长方体切割产生，如图．在等腰四面体 中，

(1) 有几对棱长相等？请分别写出这几对相等的棱；

(2) 求证：等腰四面体每个面的三角形均为锐角三角形；

(3) 设等腰四面体 的三个侧面与底面所成的角分别为 ，，，请判断 是否为定值？如果是定值请写出该定值；如果不是定值请说明理由．

参考解答

解析： （1）相等的棱 等腰四面体对棱相等，四面体 有 6 条棱 ，，，，，， 可分成 3 组对棱： 所以有 **3 对** 棱长相等． （2）各面均为锐角三角形 设等腰四面体 的棱长 ，，． 对于 ，由余弦定理 因为 ，，所以 ，， 为锐角． 同理 ，，所以 是锐角三角形． 同理可证 、、 也都是锐角三角形． （3） 是否为定值 过 作 平面 交平面 于点 ，则 ． 过 作 交 于 ，所以 平面 ，则 ． 所以 为面 与底面 所成的角，设 ， 设面 、 与底面 所成的角分别为 、，同理可得 又 （三边对应相等）， 所以 故 为定值 ． 答案： - (1) 3 对，，， - (2) 证明见解析 - (3) 是定值，