每日一题：2026-06-08

题目

北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 $2\pi$ 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有 $3$ 个面角，每个面角是 $\dfrac{\pi}{3}$，所以正四面体在各顶点的曲率为

$2\pi-3\times\frac{\pi}{3}=\pi$

故其总曲率为 $4\pi$．

(1) 求四棱锥的总曲率；

(2) 若多面体满足：顶点数 $-$ 棱数 $+$ 面数 $=2$，证明：这类多面体的总曲率是常数．

参考解答

解析：

（1）四棱锥的总曲率

四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和．

可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合．四棱锥共有 $5$ 个顶点，$5$ 个面，其中 $4$ 个为三角形，$1$ 个为四边形，

所以四棱锥的表面内角和由 $4$ 个三角形和 $1$ 个四边形组成，

则其总曲率为：

$2\pi\times5-(4\pi+2\pi)=4\pi$

（2）总曲率为常数

设顶点数、棱数、面数分别为 $n$、$l$、$m$，由条件得

$n-l+m=2$

设第 $i$ 个面的棱数为 $x_i$，则

$x_1+x_2+\cdots+x_m=2l$

总曲率为：

$\begin{aligned} &= 2\pi n-\pi\bigl[(x_1-2)+(x_2-2)+\cdots+(x_m-2)\bigr] \\[2pt] &= 2\pi n-\pi(2l-2m) \\[2pt] &= 2\pi(n-l+m) \\[2pt] &= 4\pi \end{aligned}$

所以这类多面体的总曲率是常数 $4\pi$．

答案：

• (1) $4\pi$
• (2) 该常数是 $4\pi$，证明见解析