每日一题：2026-06-08

题目

北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有 个面角，每个面角是 ，所以正四面体在各顶点的曲率为

$$2\pi-3\times\frac{\pi}{3}=\pi$$

故其总曲率为 ．

(1) 求四棱锥的总曲率；

(2) 若多面体满足：顶点数 棱数 面数 ，证明：这类多面体的总曲率是常数．

参考解答

解析： （1）四棱锥的总曲率 四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和． 可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合．四棱锥共有 个顶点， 个面，其中 个为三角形， 个为四边形， 所以四棱锥的表面内角和由 个三角形和 个四边形组成， 则其总曲率为： （2）总曲率为常数 设顶点数、棱数、面数分别为 、、，由条件得 设第 个面的棱数为 ，则 总曲率为： 所以这类多面体的总曲率是常数 ． 答案： - (1) - (2) 该常数是 ，证明见解析