题目
如果四面体的四条高交于一点，则该点称为四面体的垂心，该四面体称为垂心四面体。
(1) 证明：如果四面体的对棱互相垂直，则该四面体是垂心四面体；反之亦然。
(2) 给出下列四面体
① 正三棱锥；
② 三条侧棱两两垂直；
③ 高在各面的射影过所在面的垂心；
④ 对棱的平方和相等。
其中是垂心四面体的序号为 。
参考解答
解析：
### (1) 证明
先证充分性（对棱互相垂直 垂心四面体）：
设四面体 中，三组对棱互相垂直，即
作 面 ，垂足为 。则 。
又已知 ，故 面 。
延长 交 于 ，在平面 内作 ，垂足为 。
设 。
由于 面 ，而 面 ，
故 。
又 ，所以 面 。
此时两条高线 和 已交于点 。
连接 ，下证 面 。
因为 （ 面 ）且 （已知），
所以 面 ，
而 面 ，故 。
因为 面 ，故 。
又 （已知），
所以 面 。
由于 在 上，故 面 ，从而 面 ，
因此 。
于是 且 ，故 面 ，即 也在从 所作的高线上。
同理可证 面 ，即 也在从 所作的高线上。
综上，四条高线交于一点 ，四面体 是垂心四面体。
> 【注】上述证明的核心思路：先构造两条高线的交点，再通过线面垂直的判定证明该点也在其余高线上。
再证必要性（垂心四面体 对棱互相垂直）：
设四面体 是垂心四面体，垂心为 ，则
由 得 ；
由 得 。
从而 ，故 。
由 得 ；
由 得 。
从而 ，故 。
由 得 ；
由 得 。
从而 ，故 。
因此三组对棱互相垂直。
综上，四面体是垂心四面体 对棱互相垂直。
---
### (2) 判断
① 正三棱锥： 是垂心四面体。
设正三棱锥 -，底面 为正三角形，顶点 在底面的投影 为 的中心（也是垂心）。
因为 是正三角形的垂心，所以 。
又 底面，故 等。
于是
即 。同理 ，三组对棱垂直，由 (1) 知是垂心四面体。✅
② 三条侧棱两两垂直： 是垂心四面体。
设侧棱交于顶点 ，，则
故 。同理 ，三组对棱垂直，由 (1) 知是垂心四面体。✅
③ 高在各面的射影过所在面的垂心： 是垂心四面体。
设从顶点 作的高线交面 于 ，由条件 是 的垂心，则 。又 得 ，所以 面 ，从而 。
同理可得 ，三组对棱垂直，由 (1) 知是垂心四面体。✅
④ 对棱的平方和相等： 是垂心四面体。
由 得
两边用向量平方差公式：
即
从而
整理括号内：
于是 ，即 。
同理可证 ，三组对棱垂直，由 (1) 知是垂心四面体。✅
答案：
【点睛】本题为立体几何新定义题型，解题关键是反复利用线面垂直的判定和性质，属于难题。