题目
已知集合 $R^n=\left{(x1,x_2,\dots,x_n)\big|x_i\in R,i=1,2,\dots,n\right}\ (n\geq1)R^nA(a_1,a_2,\dots,a_n)B(b_1,b_2,\dots,b_n)\displaystyle d(A,B)=\sum{i=1}^n |a_i-b_i|$.
(1) 当 时，以下命题正确的有 （不需证明）：
① 若 ，，则 ；
② 在 中，若 ，则 ；
③ 在 中，若 ，则 ；
(2) 当 时，证明 中任意三点 满足关系 ；
(3) 当 时，设 ，，，其中 ，. 求满足要求的 点的个数 ，并证明从这 个点中任取 11 个点，其中必存在 4 个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于 .
参考解答
解析：
(1) ① 根据新定义直接计算．② 根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；③ 由新定义写出等式 的表达式，观察有无 ；
(2) 由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；
(3) 根据新定义及绝对值的性质得 点是以 为体对角线的正方体的表面和内部的整数点，共 125 个，把它们分布在五个平面 上，通过抽屉原理分类讨论可得．
详细解答：
(1) 当 时，
① 若 ，，则 ，故①正确．
② 命题②错误，分析如下：
在 中，设 ，，．
由新定义：
由 得欧氏距离勾股定理：
代入得：
但 不一定成立，故 不一定成立，命题②错误．
③ 命题③错误，分析如下：
若 ，根据新定义：
但由此不能推出 （欧氏距离），从而 不一定成立，命题③错误．
综上，仅有命题①正确，故填 ．
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(2) 当 时，设 ，，．
由绝对值的三角不等式：
将两式左右分别相加：
由新定义 得：
即 ，不等式得证．
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(3) ① 确定 点的取值范围并计算个数
．
对任意 ，由绝对值性质：对任意实数 ，，当且仅当 时取等号．
于是：
题设要求 ，因此上述三个绝对值不等式必须同时取等号，故：
又 ，故 ，每个坐标有 5 种取值，因此 点的总个数为 ，即 ．
（注：所有 点是以 为体对角线的正方体内、含边界和表面的所有整数格点．）
② 证明任取 11 个点必满足结论
将这 125 个格点按 坐标分为 5 组，分别对应平面 ，每个平面上各有 个格点．
任取 11 个点，分两种情况：
情况 1： 存在 4 个点属于同一个平面，此时这 4 个点共面，命题直接成立．
情况 2： 不存在 4 点共面，即每个平面上选取的点数至多为 3．
由抽屉原理：5 个平面，若每个平面最多选 2 个点，总共最多选 个点．现选取了 11 个点，因此至少有一个平面上选取了 3 个点．
按这个有 3 个点的平面的 坐标再细分讨论：
(i) 若该平面是中间平面 中的某一个，记为 ．
与 相邻的平面是 和 ：
- 若两个相邻平面中至少存在 1 个选中的点：取该相邻平面上的点，与 上的 3 个点构成三棱锥．该三棱锥的高为两个平面的 轴间距 ． 平面上 3 个格点构成的三角形的最大面积为 ，故该三棱锥体积最大值为：
即体积不大于 ，满足命题．
- 若两个相邻平面都没有选中的点：所有选中的点只能分布在剩下的 和 两个平面上，每个平面最多选 3 个点，总共最多选 6 个点，与选取 11 个点矛盾，该情况不可能出现．
(ii) 若该平面是端面 或 ，不妨设为 （ 完全对称）．
- 若相邻平面 上至少存在 1 个选中的点：同理取 上的点与 上的 3 个点构成三棱锥，高 ，体积最大值同样为 ，满足命题．
- 若 上也没有选中的点：所有 11 个点需分布在 三个平面上，每个平面最多选 3 个点，最多只能选 9 个点，矛盾．故剩余点必然分布为 的形式，即存在另一个有 3 个点的中间平面，转化为(i)的情况，同样存在体积不超过 的三棱锥．
综上，从这 125 个点中任取 11 个点，其中必存在 4 个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于 ．
答案：
(1) \qquad (2) 证明见解析 \qquad (3) ，证明见解析