每日一题：2026-06-11

题目

四面体 $V-ABC$ 中，$VA=VB=2\sqrt{2}$，$VC=3$，$CA=CB=4$，求异面直线 $CA$ 与 $VB$ 所成角的余弦值的取值范围 $\underline{\quad\quad}$。

参考解答

解析：

通过中点构造中位线，将异面直线夹角转化为平面角，结合余弦定理、线段长度范围求解。

第一步：取中点构造辅助线

取 $P$、$Q$ 分别为 $VC$、$AB$ 的中点。

在 $\triangle VCB$ 中，由余弦定理：

$\cos\angle VCB = \frac{VC^2+CB^2-VB^2}{2\cdot VC\cdot CB} = \frac{3^2+4^2-(2\sqrt{2})^2}{2\times3\times4} = \frac{9+16-8}{24} = \frac{17}{24}$

在 $\triangle PBC$ 中，$PC=\dfrac{VC}{2}=\dfrac{3}{2}$，$CB=4$，代入余弦定理：

$PB = \sqrt{PC^2+CB^2-2\cdot PC\cdot CB\cdot\cos\angle VCB} = \sqrt{\frac{9}{4}+16-2\times\frac{3}{2}\times4\times\frac{17}{24}} = \frac{\sqrt{39}}{2}$

由 $\triangle VAC\cong\triangle VBC$（$VA=VB$，$VC$ 公共，$CA=CB$）可得 $PA=PB=\dfrac{\sqrt{39}}{2}$。

第二步：推导 $PQ$ 的取值范围

在等腰 $\triangle ABP$ 中，$PQ$ 是底边 $AB$ 上的中线，因此 $PQ < PA = \dfrac{\sqrt{39}}{2}$，当 $A,B$ 退化为同一点时取等（四面体退化边界）。

过 $B$ 作 $BH\perp VC$ 于 $H$，设 $HP=x$，由 $VB^2-VH^2=BC^2-HC^2$ 得：

$BC^2-BV^2 = HC^2-HV^2$

代入数值：

$4^2-(2\sqrt{2})^2 = \left(\frac{3}{2}+x\right)^2-\left(\frac{3}{2}-x\right)^2$

$16-8 = \left(\frac{9}{4}+3x+x^2\right)-\left(\frac{9}{4}-3x+x^2\right)$

$8 = 6x$

解得 $x=\dfrac{4}{3}$，从而 $PQ > \dfrac{4}{3}$，当 $A,B,V,C$ 四点共面时取等（四面体退化边界）。

因此 $\dfrac{4}{3} < PQ < \dfrac{\sqrt{39}}{2}$。

第三步：构造异面直线夹角

取 $BC$ 中点 $M$，则 $PM\parallel BV$，$QM\parallel AC$，故异面直线 $CA$ 与 $VB$ 所成的角即为 $\angle PMQ$ 或其补角。

易得 $PM = \dfrac{1}{2}VB = \sqrt{2}$，$QM = \dfrac{1}{2}AC = 2$，由余弦定理：

$\cos\angle PMQ = \frac{PM^2+MQ^2-PQ^2}{2\cdot PM\cdot MQ} = \frac{2+4-PQ^2}{2\cdot\sqrt{2}\cdot2} = \frac{6-PQ^2}{4\sqrt{2}}$

第四步：代入范围求值

由 $\dfrac{4}{3} < PQ < \dfrac{\sqrt{39}}{2}$，平方得 $\dfrac{16}{9} < PQ^2 < \dfrac{39}{4}$，代入上式：

$\cos\angle PMQ = \frac{6-PQ^2}{4\sqrt{2}}$

当 $PQ^2 \to \dfrac{39}{4}^-$（即 $PQ\to\dfrac{\sqrt{39}}{2}^-$）时：

$\cos\angle PMQ \to \frac{6-\dfrac{39}{4}}{4\sqrt{2}} = \frac{-\dfrac{15}{4}}{4\sqrt{2}} = -\frac{15}{16\sqrt{2}} = -\frac{15\sqrt{2}}{32}$

当 $PQ^2 \to \dfrac{16}{9}^+$（即 $PQ\to\dfrac{4}{3}^+$）时：

$\cos\angle PMQ \to \frac{6-\dfrac{16}{9}}{4\sqrt{2}} = \frac{\dfrac{38}{9}}{4\sqrt{2}} = \frac{38}{36\sqrt{2}} = \frac{19}{18\sqrt{2}} = \frac{19\sqrt{2}}{36}$

因此 $-\dfrac{15\sqrt{2}}{32} < \cos\angle PMQ < \dfrac{19\sqrt{2}}{36}$。

由于异面直线所成角的范围是 $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$，余弦值非负，舍去负值，得到最终结果。

答案：$\displaystyle \left[0,\frac{19\sqrt{2}}{36}\right)$