每日一题：2026-06-11

题目

四面体 中，，，，求异面直线 与 所成角的余弦值的取值范围 。

参考解答

解析： 通过中点构造中位线，将异面直线夹角转化为平面角，结合余弦定理、线段长度范围求解。 第一步：取中点构造辅助线 取 、 分别为 、 的中点。 在 中，由余弦定理： 在 中，，，代入余弦定理： 由 （， 公共，）可得 。 第二步：推导 的取值范围 在等腰 中， 是底边 上的中线，因此 ，当 退化为同一点时取等（四面体退化边界）。 过 作 于 ，设 ，由 得： 代入数值： 解得 ，从而 ，当 四点共面时取等（四面体退化边界）。 因此 。 第三步：构造异面直线夹角 取 中点 ，则 ，，故异面直线 与 所成的角即为 或其补角。 易得 ，，由余弦定理： 第四步：代入范围求值 由 ，平方得 ，代入上式： 当 （即 ）时： 当 （即 ）时： 因此 。 由于异面直线所成角的范围是 ，余弦值非负，舍去负值，得到最终结果。 答案：