每日一题：2026-06-12

题目

在边长为 $2$ 的菱形 $ABCD$ 中，$\angle BAD = \dfrac{\pi}{3}$，将菱形 $ABCD$ 沿对角线 $BD$ 折成空间四边形 $A'BCD$，使得 $\angle A'BC = \dfrac{\pi}{2}$。设 $E$，$F$ 分别为棱 $BC$，$A'D$ 的中点，则（ ）

A. $EF = \sqrt{3}$

B. 直线 $A'C$ 与 $EF$ 所成角的余弦值为 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

C. 直线 $A'C$ 与 $EF$ 的距离为 $\dfrac{1}{2}$

D. 四面体 $A'BCD$ 的外接球的表面积为 $4\pi$

参考解答

解析：

设菱形 $ABCD$ 中 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，取 $CD$ 中点 $G$，连接 $EG$、$FG$。

折叠前：$\triangle ABD$ 为等边三角形，$BD = 2$，$CO = AO = \sqrt{AB^2 - \left(\dfrac{BD}{2}\right)^2} = \sqrt{3}$。

折叠后：$A'B = BC = 2$，$\angle A'BC = \dfrac{\pi}{2}$，则 $A'C = \sqrt{A'B^2 + BC^2} = 2\sqrt{2}$。

由菱形性质，$AO \perp BD$、$CO \perp BD$，折叠后 $A'O \perp BD$、$CO \perp BD$，故 $BD \perp$ 平面 $A'OC$，从而 $A'C \perp BD$。

对 A 项验证：

$E$、$F$、$G$ 分别为 $BC$、$A'D$、$CD$ 的中点，则 $GE \parallel BD$ 且 $GE = \dfrac{1}{2}BD = 1$，$FG \parallel A'C$ 且 $FG = \dfrac{1}{2}A'C = \sqrt{2}$。

因为 $A'C \perp BD$，所以 $FG \perp EG$，在 Rt$\triangle EFG$ 中：

$EF = \sqrt{FG^2 + EG^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3}$

故 A 项正确 ✅

对 B 项验证：

因为 $FG \parallel A'C$，所以直线 $A'C$ 与 $EF$ 所成角即为 $\angle EFG$。

在 Rt$\triangle EFG$ 中：

$\cos\angle EFG = \frac{FG}{EF} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

选项 B 给出 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，故 B 项错误 ❌

对 C 项验证：

因为 $FG \parallel A'C$，$FG \subset$ 平面 $EFG$，所以 $A'C \parallel$ 平面 $EFG$。

设 $EG$ 与 $OC$ 交于点 $H$。由于 $\triangle BCD$ 为等边三角形，$CO$ 为中线；又 $EG$ 为 $\triangle BCD$ 的中位线，故 $H$ 为 $EG$ 中点。

作 $OM \perp A'C$ 于点 $M$，$HN \perp A'C$ 于点 $N$，则 $HN \parallel OM$ 且 $HN = \dfrac{1}{2}OM$，$HN \perp FG$。

因为 $BD \perp$ 平面 $A'OC$，$GE \parallel BD$，所以 $GE \perp$ 平面 $A'OC$，$HN \subset$ 平面 $A'OC$，故 $GE \perp HN$。

于是 $HN \perp$ 平面 $EFG$，即 $HN$ 为 $A'C$ 到平面 $EFG$ 的距离。

在等腰 $\triangle A'OC$ 中，$A'O = CO = \sqrt{3}$，$A'C = 2\sqrt{2}$，$M$ 为 $A'C$ 中点，则：

$OM = \sqrt{OC^2 - \left(\frac{A'C}{2}\right)^2} = \sqrt{3 - 2} = 1$

从而 $HN = \dfrac{1}{2}OM = \dfrac{1}{2}$。

即直线 $A'C$ 与平面 $EFG$ 的距离为 $\dfrac{1}{2}$，又 $EF \subset$ 平面 $EFG$，故直线 $A'C$ 与 $EF$ 的距离为 $\dfrac{1}{2}$，C 项正确 ✅

对 D 项验证：

$A'C = 2\sqrt{2}$，$A'B = BC = CD = A'D = 2$，则 $\triangle A'BC$、$\triangle A'DC$ 均为直角三角形。

取 $A'C$ 中点 $P$，由直角三角形性质得：

$BP = DP = \frac{1}{2}A'C = A'P = CP = \sqrt{2}$

故 $P$ 为四面体 $A'BCD$ 的外接球球心，外接球半径 $R = \sqrt{2}$，表面积：

$S = 4\pi R^2 = 4\pi \times (\sqrt{2})^2 = 8\pi$

选项 D 给出 $4\pi$，故 D 项错误 ❌

答案：$\displaystyle AC$