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每日一题：2026-06-13

题目

如图，二面角 α−AB−β\alpha-AB-\beta 的大小为 θ\theta，PP，QQ 分别在平面 α\alpha，β\beta 内，PM⊥ABPM \perp AB，NQ⊥ABNQ \perp AB，∣PM∣=m|PM| = m，∣QN∣=n|QN| = n，∣PQ∣=l|PQ| = l，则 ∣MN∣=|MN| =（ ）

A. l2−m2−n2+2mncos⁡θ\sqrt{l^2 - m^2 - n^2 + 2mn\cos\theta}

B. l2+m2+n2−2mncos⁡θ\sqrt{l^2 + m^2 + n^2 - 2mn\cos\theta}

C. m2+n2−l2+2mncos⁡θ\sqrt{m^2 + n^2 - l^2 + 2mn\cos\theta}

D. l2−m2−n2±2mncos⁡θ\sqrt{l^2 - m^2 - n^2 \pm 2mn\cos\theta}

参考解答

解析：

利用向量加法 PQ→=PM→+MN→+NQ→\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NQ}，再对等式两边平方，结合向量垂直关系和夹角关系求解。

由 PM⊥ABPM \perp AB，NQ⊥ABNQ \perp AB 及 M,N∈ABM,N \in AB 可得：

PM→⋅MN→=0,NQ→⋅MN→=0\overrightarrow{PM} \cdot \overrightarrow{MN} = 0,\quad \overrightarrow{NQ} \cdot \overrightarrow{MN} = 0

MP→\overrightarrow{MP} 与 NQ→\overrightarrow{NQ} 的夹角即为二面角 α−AB−β\alpha-AB-\beta 的大小，故：

PM→⋅NQ→=−mncos⁡θ\overrightarrow{PM} \cdot \overrightarrow{NQ} = -mn\cos\theta

（注意 PM→\overrightarrow{PM} 与 MP→\overrightarrow{MP} 反向，因此 PM→⋅NQ→=−MP→⋅NQ→=−mncos⁡θ\overrightarrow{PM} \cdot \overrightarrow{NQ} = -\overrightarrow{MP} \cdot \overrightarrow{NQ} = -mn\cos\theta）

由向量加法：

PQ→=PM→+MN→+NQ→\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NQ}

两边平方：

l2=PQ→2=(PM→+MN→+NQ→)2=∣PM→∣2+∣MN→∣2+∣NQ→∣2+2PM→⋅MN→+2PM→⋅NQ→+2MN→⋅NQ→=m2+∣MN∣2+n2+0+2(−mncos⁡θ)+0=m2+∣MN∣2+n2−2mncos⁡θ\begin{aligned} l^2 &= \overrightarrow{PQ}^2 = (\overrightarrow{PM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NQ})^2 \\[2mm] &= |\overrightarrow{PM}|^2 + |\overrightarrow{MN}|^2 + |\overrightarrow{NQ}|^2 + 2\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{MN} + 2\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{NQ} + 2\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{NQ} \\[2mm] &= m^2 + |MN|^2 + n^2 + 0 + 2(-mn\cos\theta) + 0 \\[2mm] &= m^2 + |MN|^2 + n^2 - 2mn\cos\theta \end{aligned}

解得：

∣MN∣=l2−m2−n2+2mncos⁡θ|MN| = \sqrt{l^2 - m^2 - n^2 + 2mn\cos\theta}

答案：A\displaystyle A