题目
如图， 是棱长为 的正方体，任作平面 与对角线 垂直，使得 与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为 ，周长为 ，则 与 的取值范围分别是 （用集合表示）
参考解答
分析：
由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在正方形的对角线平行，利用相似比即可求得截面周长为定值。
详解：
（1）证明截面边与面对角线平行
连接 ，，，：
， 平面
，又
平面 ，
同理可证
因此 平面 。
设平面 与平面 的交线为 ，
则 ，又 ，
。
同理可得：平面 与正方体其余各面的交线，都与对应面的对角线平行。
（2）周长恒为定值
设 ，则 ，因此 ，
。
同理可得六边形其余两组相邻边的和也为 ，
六边形的周长为定值 。
由于截面与各面的交线都平行于对应面的对角线，因此无论六边形如何变化，其每个内角均为 ，且任意一组相邻边长的和为 。
（3）面积范围
可通过构造边长为 、一个内角为 的菱形推导截面面积：
六边形 的面积 = 大菱形面积 − 上下两个小等边三角形的面积，其中 ，下方小等边三角形边长 ，因此：
由 ，可得：
答案：
面积 的取值范围：
周长 的取值范围：
点睛：
本题考查正方体内截面几何图形的面积和周长，意在考查空间想象能力和计算能力。本题的关键是做出与 垂直的平面，可知交线与所在平面的对角线平行，由此利用相似可证明周长为定值；无论截面如何变化，截面六边形的内角都是 ，求截面面积最值时可利用对称性和二次函数求范围。