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每日一题：2026-06-14

题目

如图，ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 是棱长为 11 的正方体，任作平面 α\alpha 与对角线 AC1AC_1 垂直，使得 α\alpha 与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为 SS，周长为 ll，则 SS 与 ll 的取值范围分别是 ‾\underline{\hspace{6em}}（用集合表示）

参考解答

分析：
由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在正方形的对角线平行，利用相似比即可求得截面周长为定值。

详解：

（1）证明截面边与面对角线平行

连接 A1BA_1B，A1DA_1D，BDBD，AB1AB_1：

∵AB1⊥A1B\because AB_1\perp A_1B，B1C1⊥B_1C_1\perp 平面 ABB1A1ABB_1A_1

∴B1C1⊥A1B\therefore B_1C_1\perp A_1B，又 AB1∩B1C1=B1AB_1\cap B_1C_1=B_1

∴A1B⊥\therefore A_1B\perp 平面 AB1C1AB_1C_1，∴A1B⊥AC1\therefore A_1B\perp AC_1

同理可证 AC1⊥BDAC_1\perp BD

因此 AC1⊥AC_1\perp 平面 A1BDA_1BD。

设平面 α\alpha 与平面 ABB1A1ABB_1A_1 的交线为 EFEF，

则 AC1⊥EFAC_1\perp EF，又 ∵AC1⊥A1B\because AC_1\perp A_1B，

∴EF/ ⁣/A1B\therefore EF\mathbin{/\!/}A_1B。

同理可得：平面 α\alpha 与正方体其余各面的交线，都与对应面的对角线平行。

（2）周长恒为定值

设 EFA1B=λ\dfrac{EF}{A_1B}=\lambda，则 B1EA1B1=λ\dfrac{B_1E}{A_1B_1}=\lambda，因此 NEB1D1=A1EA1B1=1−λ\dfrac{NE}{B_1D_1}=\dfrac{A_1E}{A_1B_1}=1-\lambda，

∴EF+NE=2λ+2(1−λ)=2\therefore EF+NE=\sqrt{2}\lambda+\sqrt{2}(1-\lambda)=\sqrt{2}。

同理可得六边形其余两组相邻边的和也为 2\sqrt{2}，

∴\therefore 六边形的周长为定值 323\sqrt{2}。

由于截面与各面的交线都平行于对应面的对角线，因此无论六边形如何变化，其每个内角均为 120∘120^\circ，且任意一组相邻边长的和为 2\sqrt{2}。

（3）面积范围

可通过构造边长为 2\sqrt{2}、一个内角为 60∘60^\circ 的菱形推导截面面积：

六边形 EFGHMNEFGHMN 的面积 = 大菱形面积 − 上下两个小等边三角形的面积，其中 EF=2λEF=\sqrt{2}\lambda，下方小等边三角形边长 MH=2(1−λ)MH=\sqrt{2}(1-\lambda)，因此：

S=(2)2⋅sin⁡60∘−12(2λ)2⋅sin⁡60∘−12[2(1−λ)]2sin⁡60∘=3−32[λ2+(1−λ)2]=3−32(2λ2−2λ+1)=343−3(λ−12)2,0≤λ≤1\begin{aligned} S &= \left(\sqrt{2}\right)^2\cdot\sin60^\circ - \frac{1}{2}\left(\sqrt{2}\lambda\right)^2\cdot\sin60^\circ - \frac{1}{2}\left[\sqrt{2}(1-\lambda)\right]^2\sin60^\circ \\ &= \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\left[\lambda^2+(1-\lambda)^2\right] \\ &= \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\left(2\lambda^2-2\lambda+1\right) \\ &= \frac{3}{4}\sqrt{3} - \sqrt{3}\left(\lambda-\frac{1}{2}\right)^2,\quad 0\leq\lambda\leq1 \end{aligned}

由 0≤(λ−12)2≤140\leq\left(\lambda-\frac{1}{2}\right)^2\leq\dfrac{1}{4}，可得：

32≤S≤343\frac{\sqrt{3}}{2}\leq S\leq\frac{3}{4}\sqrt{3}

答案：

面积 SS 的取值范围：[32,343]\displaystyle \left[\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{4}\sqrt{3}\right]

周长 ll 的取值范围：{32}\displaystyle \{3\sqrt{2}\}

点睛：
本题考查正方体内截面几何图形的面积和周长，意在考查空间想象能力和计算能力。本题的关键是做出与 AC1AC_1 垂直的平面，可知交线与所在平面的对角线平行，由此利用相似可证明周长为定值；无论截面如何变化，截面六边形的内角都是 120∘120^\circ，求截面面积最值时可利用对称性和二次函数求范围。