题目
如果四面体的四条高交于一点，则该点称为四面体的垂心，该四面体称为垂心四面体。
（1）证明：如果四面体的对棱互相垂直，则该四面体是垂心四面体；反之亦然。
（2）给出下列四面体：
① 正三棱锥；
② 三条侧棱两两垂直；
③ 高在各面的射影过所在面的垂心；
④ 对棱的平方和相等。
其中是垂心四面体的序号为 。
参考解答
分析：
（1）首先证明四面体的两条高线交于一点，再证过另一顶点和这一点的直线为另一条高线，即可证明结论成立。（2）①②③利用线面垂直的判定与性质不难证明对棱垂直，④可借助于向量运算证明对棱垂直，然后根据（1）的结论可判定它们都是垂心四面体。
详解：
（1）先证对棱互相垂直的四面体是垂心四面体。
作 面 ，垂足为 ，则 ，已知 ，故 面 ，
延长 交 于 ，在平面 内作 ，垂足为 ，
设 ，
已知 面 ， 面 ，
，故 面 ，
此时两条高线 和 已交于点 ，
连接 ，下证 面 ，
，， 面 ，而 面 ，故 。
又 ，， 面 ，而 面 ，，
平面 ，
同理 平面 ， 平面 ， 平面 。
综上可知，四条高线交于点 ，故该四面体为垂心四面体。
反之，若该四面体为垂心四面体，即四条高线交于点 。
面 ，，
面 ，，
面 ，故 ，
同理可证 ，。
（2）对四种四面体逐一判断
① 正三棱锥底面为正三角形，侧面为全等的等腰三角形，可证明三组对棱两两垂直，根据（1）的结论可知四面体 为垂心四面体。
② 三条侧棱两两垂直，任一条侧棱垂直另外两条侧棱所在的平面，也可证明对棱垂直，根据（1）的结论可知四面体 为垂心四面体。
③ 高垂直于底面棱，在侧面的射影垂直于此面的底面棱，所以底面棱垂直于高和射影所在的平面，即垂直于对棱，根据（1）的结论可知四面体 为垂心四面体。
④ 若 ，则有 成立，即
即
，同理可证 ，。
根据（1）的结论可知四面体 为垂心四面体。
答案：
点睛：
本题考查垂心四面体的判定，核心结论是「对棱互相垂直」与「四面体为垂心四面体」等价。利用该结论，判断四面体是否为垂心四面体仅需检验其三组对棱是否互相垂直。对于条件④，向量运算是处理对棱垂直关系的有效工具：将长度平方关系转化为向量内积运算，化几何条件为代数推证。
