每日一题：2026-06-15

题目

如果四面体的四条高交于一点，则该点称为四面体的垂心，该四面体称为垂心四面体。

（1）证明：如果四面体的对棱互相垂直，则该四面体是垂心四面体；反之亦然。

（2）给出下列四面体：

① 正三棱锥；

② 三条侧棱两两垂直；

③ 高在各面的射影过所在面的垂心；

④ 对棱的平方和相等。

其中是垂心四面体的序号为 $\underline{\hspace{4em}}$。

参考解答

分析：
（1）首先证明四面体的两条高线交于一点，再证过另一顶点和这一点的直线为另一条高线，即可证明结论成立。（2）①②③利用线面垂直的判定与性质不难证明对棱垂直，④可借助于向量运算证明对棱垂直，然后根据（1）的结论可判定它们都是垂心四面体。

详解：

（1）先证对棱互相垂直的四面体是垂心四面体。

作 $AH_1\perp$ 面 $BCD$，垂足为 $H_1$，则 $CD\perp AH_1$，已知 $CD\perp AB$，故 $CD\perp$ 面 $ABH_1$，

延长 $BH_1$ 交 $CD$ 于 $E$，在平面 $ABE$ 内作 $BH_2\perp AE$，垂足为 $H_2$，

设 $AH_1\cap BH_2=H$，

已知 $CD\perp$ 面 $ABH_1$，$BH_2\subset$ 面 $ABH_1$，

$\therefore BH_2\perp CD$，故 $BH_2\perp$ 面 $ACD$，

此时两条高线 $AH_1$ 和 $BH_2$ 已交于点 $H$，

连接 $CH$，下证 $CH\perp$ 面 $ABD$，

$\because BD\perp AH_1$，$BD\perp AC$，$\therefore BD\perp$ 面 $ACH_1$，而 $CH\subset$ 面 $ACH_1$，故 $CH\perp BD$。

又 $\because AD\perp BH_1$，$AD\perp BC$，$\therefore AD\perp$ 面 $BCH_2$，而 $CH\subset$ 面 $BCH_2$，$\therefore CH\perp AD$，

$\therefore CH\perp$ 平面 $ABD$，

同理 $AH\perp$ 平面 $BCD$，$BH\perp$ 平面 $ACD$，$DH\perp$ 平面 $ABC$。

综上可知，四条高线交于点 $H$，故该四面体为垂心四面体。

反之，若该四面体为垂心四面体，即四条高线交于点 $H$。

$\because AH\perp$ 面 $BCD$，$\therefore AH\perp CD$，

$\because BH\perp$ 面 $ACD$，$\therefore BH\perp CD$，

$\therefore CD\perp$ 面 $ABH$，故 $CD\perp AB$，

同理可证 $BC\perp AD$，$BD\perp AC$。

（2）对四种四面体逐一判断

① 正三棱锥底面为正三角形，侧面为全等的等腰三角形，可证明三组对棱两两垂直，根据（1）的结论可知四面体 $A-BCD$ 为垂心四面体。

② 三条侧棱两两垂直，任一条侧棱垂直另外两条侧棱所在的平面，也可证明对棱垂直，根据（1）的结论可知四面体 $A-BCD$ 为垂心四面体。

③ 高垂直于底面棱，在侧面的射影垂直于此面的底面棱，所以底面棱垂直于高和射影所在的平面，即垂直于对棱，根据（1）的结论可知四面体 $A-BCD$ 为垂心四面体。

④ 若 $AC^2+BD^2=AD^2+BC^2$，则有 $AC^2-AD^2=BC^2-BD^2$ 成立，即

$\overrightarrow{AC}^2-\overrightarrow{AD}^2=\overrightarrow{BC}^2-\overrightarrow{BD}^2$

即

$(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD})\cdot(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})=(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD})\cdot(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD})$

$\overrightarrow{DC}\cdot(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})=\overrightarrow{DC}\cdot(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD})$

$\overrightarrow{DC}\cdot(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD})=0$

$\overrightarrow{DC}\cdot(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB})=0$

$\overrightarrow{DC}\cdot(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB})=0$

$\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{AB}=0$

$\therefore AB\perp CD$，同理可证 $BC\perp AD$，$BD\perp AC$。

根据（1）的结论可知四面体 $A-BCD$ 为垂心四面体。

答案：$\displaystyle \boldsymbol{①②③④}$

点睛：
本题考查垂心四面体的判定，核心结论是「对棱互相垂直」与「四面体为垂心四面体」等价。利用该结论，判断四面体是否为垂心四面体仅需检验其三组对棱是否互相垂直。对于条件④，向量运算是处理对棱垂直关系的有效工具：将长度平方关系转化为向量内积运算，化几何条件为代数推证。