每日一题：2026-06-16

题目

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 的底面为正方形，$PD\perp$ 底面 $ABCD$．设平面 $PAD$ 与平面 $PBC$ 的交线为 $l$．

（Ⅰ）证明：$l\perp$ 平面 $PDC$．

（Ⅱ）已知 $PD=AD=1$，$Q$ 为 $l$ 上的点，$QB=\sqrt{2}$，求 $PB$ 与平面 $QCD$ 所成角的正弦值．

参考解答

（Ⅰ）证明：

因为四边形 $ABCD$ 是正方形，所以 $AD\parallel BC$．

又 $BC\subset$ 平面 $PBC$，$AD\not\subset$ 平面 $PBC$，所以 $AD\parallel$ 平面 $PBC$．

因为 $AD\subset$ 平面 $PAD$，且 $l$ 是平面 $PAD$ 与平面 $PBC$ 的交线，所以 $AD\parallel l$．

由 $PD\perp$ 底面 $ABCD$，得 $PD\perp AD$，又 $AD\perp DC$（正方形性质），
因此 $AD\perp$ 平面 $PDC$．

由 $AD\parallel l$ 得 $l\perp$ 平面 $PDC$．

（Ⅱ）解：

由 $PD\perp$ 底面 $ABCD$ 及正方形性质，以 $D$ 为原点建立空间直角坐标系 $Dxyz$，
或直接利用几何法求解。下面采用几何法。

由 $PD=AD=1$，得 $PB=\sqrt{PD^2+AD^2+AB^2}=\sqrt{3}$．

在直线 $l$ 上取点 $P_1$ 使得 $PP_1=BC=1$，则由 $l\parallel AD\parallel BC$ 知 $PP_1\stackrel{\parallel}{=}BC$，
故四边形 $PP_1CB$ 为平行四边形，于是 $P_1C\stackrel{\parallel}{=}PB=\sqrt{3}$．

在 $l$ 上取 $PQ_1=1$，则 $PQ_1\stackrel{\parallel}{=}BC$，故 $Q_1B\stackrel{\parallel}{=}PC$．

由（Ⅰ）知 $l\perp PC$，所以 $l\perp Q_1B$．
在 $\text{Rt}\triangle PQ_1B$ 中，$BQ_1=\sqrt{PB^2-PQ_1^2}=\sqrt{2}$．

由 $QB=\sqrt{2}$，知点 $Q$ 与 $Q_1$ 重合，即 $PQ=1$．

于是 $PQ=PD=PP_1$，故 $P_1D\perp DQ$．
又 $CD\perp$ 平面 $PDQ$，所以 $CD\perp P_1D$，
因此 $P_1D\perp$ 平面 $QCD$．

故 $PB$ 与平面 $QCD$ 所成角 $\alpha$ 即为 $P_1C$ 与平面 $QCD$ 所成角，
且 $\angle P_1CD$ 即为该角．

$\displaystyle\sin\alpha=\frac{P_1D}{P_1C}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．

答案：$\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}$