每日一题：2026-06-17

题目

如图，正四棱锥 $P-ABCD$ 的高为 $3$，底面边长为 $2$．$M$ 为棱 $PC$ 的中点，过 $AM$ 作平面与线段 $PB$、$PD$ 分别交于点 $E$、$F$（可以是线段的端点）．试求四棱锥 $P-AEMF$ 体积的最大值与最小值．

参考解答

解：

如图，连接 $AC$、$BD$ 交于点 $O$，高 $PO$ 与 $AM$ 交于点 $G$．

易知 $G$ 是 $\triangle PAC$ 的重心，同时也是 $\triangle PBD$ 的重心（因为 $A$、$C$ 与 $B$、$D$ 关于 $O$ 对称，重心 $G$ 都在 $PO$ 上距 $O$ 为 $\dfrac{1}{3}PO$ 处）．

由于截面 $AEMF$ 与平面 $PBD$ 的交线为直线 $EF$，因此 $E$、$G$、$F$ 三点共线．

设 $\overrightarrow{PE}=x\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{PF}=y\overrightarrow{PD}$，其中 $0< x\leqslant 1$，$0< y\leqslant 1$．

由重心 $G$ 在 $EF$ 上的共线条件，结合向量关系可推导得：

[
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3 \tag{1}
]

将四棱锥 $P-AEMF$ 拆分为两个三棱锥的体积和：

[

]

正四棱锥中 $V_{P-ABD}=V_{P-BCD}=\dfrac{1}{2}V_{P-ABCD}$，代入得：

[
V_{P-AEMF} = \frac{3}{4}xy \cdot V_{P-ABCD}
]

正四棱锥 $P-ABCD$ 的体积为：

[
V_{P-ABCD}=\frac{1}{3}\times 2^2 \times 3 = 4
]

代入得：

[
V_{P-AEMF} = 3xy
]

由(1)式变形消去 $y$：

[
y = \frac{x}{3x-1}
]

由 $0< y\leqslant 1$ 可得定义域 $\dfrac{1}{2}\leqslant x\leqslant 1$．

将 $y$ 代入体积表达式：

[
V_{P-AEMF} = 3xy = \frac{3x^2}{3x-1}
]

变形：

[
V_{P-AEMF} = \frac{3x^2}{3x-1} = \frac{1}{3}\left[(3x-1)+\frac{1}{3x-1}+2\right]
]

令 $t=3x-1$，则 $t\in\left[\dfrac{1}{2},\,2\right]$，由对勾函数 $f(t)=t+\dfrac{1}{t}$ 的性质：

• 当 $t=1$，即 $3x-1=1\Rightarrow x=\dfrac{2}{3}$ 时，$f(t)$ 取最小值 $2$，对应 $V_{P-AEMF}$ 取最小值；
• 当 $t=\dfrac{1}{2}$ 或 $t=2$，即 $x=\dfrac{1}{2}$ 或 $x=1$ 时，$f(t)$ 取最大值，对应 $V_{P-AEMF}$ 取最大值．

计算得：

[
V_{\min} = \frac{1}{3}(2+2) = \frac{4}{3},\qquad
V_{\max} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}+2+2\right) = \frac{3}{2}
]

答案：最小值 $\displaystyle \frac{4}{3}$，最大值 $\displaystyle \frac{3}{2}$