题目
如图，正四棱锥 的高为 ，底面边长为 ． 为棱 的中点，过 作平面与线段 、 分别交于点 、（可以是线段的端点）．试求四棱锥 体积的最大值与最小值．
参考解答
解：
如图，连接 、 交于点 ，高 与 交于点 ．
易知 是 的重心，同时也是 的重心（因为 、 与 、 关于 对称，重心 都在 上距 为 处）．
由于截面 与平面 的交线为直线 ，因此 、、 三点共线．
设 ，，其中 ，．
由重心 在 上的共线条件，结合向量关系可推导得：
将四棱锥 拆分为两个三棱锥的体积和：
正四棱锥中 ，代入得：
正四棱锥 的体积为：
代入得：
由(1)式变形消去 ：
由 可得定义域 ．
将 代入体积表达式：
变形：
令 ，则 ，由对勾函数 的性质：
- 当 ，即 时， 取最小值 ，对应 取最小值；
- 当 或 ，即 或 时， 取最大值，对应 取最大值．
计算得：
答案：最小值 ，最大值