题目
四面体的内切球与三个界面的切点分别是它们的内心、垂心和重心，证明：该四面体是正四面体．
参考解答
证明：
如图，设 是内切球球心， 是 的内心， 是 的垂心， 是 的重心．、、 是内切球与相应界面的切点．
设 的内切圆 分别切边 、、 于点 、、，则 （内切圆半径相等）．
因此 （ 为公共直角边），
得 ，记为 ．
由 及三垂线定理知 ，
即面 与面 的夹角为 ．
由于 是内切球球心，故面 是二面角 的平分面，
所以二面角 的大小为 ．
同理，二面角 、 的大小均为 ．
因此点 在面 内的射影为 的内心，
即 面 ，、、 三点共线．
因为 且 ，所以 面 ．
同理 面 ．
过点 分别向 和 引垂线 和 ，、 为垂足．
因为 ，，所以 面 ，
即 ，且 、、 共线．
同理可得 、、 三点共线．
于是 同时是 的中线和高，因此 ，
进而 ，因此 ，于是 、、 三点共线．
注意到 为 的垂心，故 ；
又 面 ，由三垂线定理可得 ，
又 ，所以 面 ．
由于 面 ，因此 、、 共线．
考察 ， 和 分别是它的高， 是角平分线，
所以 ，由此得
这说明 既是 的内心，又是它的重心，
因此 是正三角形．进而三棱锥 为正三棱锥，
故点 在 内的射影 为 的垂心；
这说明 既是 的垂心，也是 的重心，
因此 也是正三角形．
由上可知，此四面体为正四面体．
