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每日一题：2026-06-18

题目

四面体的内切球与三个界面的切点分别是它们的内心、垂心和重心，证明：该四面体是正四面体．

参考解答

证明：

如图，设 OO 是内切球球心，O1O_1 是 △ABC\triangle ABC 的内心，HH 是 △ACD\triangle ACD 的垂心，MM 是 △ABD\triangle ABD 的重心．O1O_1、HH、MM 是内切球与相应界面的切点．

设 △ABC\triangle ABC 的内切圆 O1O_1 分别切边 BCBC、CACA、ABAB 于点 A1A_1、B1B_1、C1C_1，则 O1A1=O1B1=O1C1O_1A_1=O_1B_1=O_1C_1（内切圆半径相等）．

因此 Rt△OO1A1≅Rt△OO1B1≅Rt△OO1C1\mathrm{Rt}\triangle OO_1A_1\cong\mathrm{Rt}\triangle OO_1B_1\cong\mathrm{Rt}\triangle OO_1C_1（OO1OO_1 为公共直角边），
得 ∠OA1O1=∠OB1O1=∠OC1O1\angle OA_1O_1=\angle OB_1O_1=\angle OC_1O_1，记为 φ\varphi．

由 O1A1⊥BCO_1A_1\perp BC 及三垂线定理知 OA1⊥BCOA_1\perp BC，
即面 BOCBOC 与面 BACBAC 的夹角为 φ\varphi．

由于 OO 是内切球球心，故面 BOCBOC 是二面角 D−BC−AD-BC-A 的平分面，
所以二面角 D−BC−AD-BC-A 的大小为 2φ2\varphi．
同理，二面角 D−AB−CD-AB-C、D−AC−BD-AC-B 的大小均为 2φ2\varphi．
因此点 DD 在面 ABCABC 内的射影为 △ABC\triangle ABC 的内心，
即 DO1⊥DO_1\perp 面 ABCABC，DD、OO、O1O_1 三点共线．

因为 AB⊥O1C1AB\perp O_1C_1 且 AB⊥DO1AB\perp DO_1，所以 AB⊥AB\perp 面 DO1C1DO_1C_1．
同理 AC⊥AC\perp 面 DO1B1DO_1B_1．

过点 OO 分别向 DB1DB_1 和 DC1DC_1 引垂线 OH1OH_1 和 OM1OM_1，H1H_1、M1M_1 为垂足．
因为 OH1⊥DB1OH_1\perp DB_1，OH1⊥ACOH_1\perp AC，所以 OH1⊥OH_1\perp 面 ADCADC，
即 H1=HH_1=H，且 DD、HH、B1B_1 共线．
同理可得 DD、MM、C1C_1 三点共线．

于是 DC1DC_1 同时是 △ABD\triangle ABD 的中线和高，因此 AD=DBAD=DB，
进而 AO1=BO1AO_1=BO_1，因此 AC=BCAC=BC，于是 CC、O1O_1、C1C_1 三点共线．

注意到 HH 为 △ACD\triangle ACD 的垂心，故 CH⊥ADCH\perp AD；
又 OH⊥OH\perp 面 ACDACD，由三垂线定理可得 OC⊥ADOC\perp AD，
又 OC⊥ABOC\perp AB，所以 OC⊥OC\perp 面 ABDABD．

由于 OM⊥OM\perp 面 ABDABD，因此 CC、OO、MM 共线．

考察 △CDC1\triangle CDC_1，DO1DO_1 和 CMCM 分别是它的高，C1OC_1O 是角平分线，
所以 C1D=C1CC_1D=C_1C，由此得
[
C_1O_1:O_1C=C_1M:MD=1:2
]

这说明 O1O_1 既是 △ABC\triangle ABC 的内心，又是它的重心，
因此 △ABC\triangle ABC 是正三角形．进而三棱锥 D−ABCD-ABC 为正三棱锥，
故点 CC 在 △ABD\triangle ABD 内的射影 MM 为 △ABD\triangle ABD 的垂心；
这说明 MM 既是 △ABD\triangle ABD 的垂心，也是 △ABD\triangle ABD 的重心，
因此 △ABD\triangle ABD 也是正三角形．

由上可知，此四面体为正四面体．□\square