每日一题：2026-06-19

题目

已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数、样本方差分别为 $n_1,\bar x_1,s_1^2$ 和 $n_2,\bar x_2,s_2^2$．记总的样本平均数为 $\bar x$，样本方差为 $s^2$，则

$s^2=\frac{1}{n}\big[n_1(s_1^2+(\bar x_1-\bar x)^2)+n_2(s_2^2+(\bar x_2-\bar x)^2)\big].$

该公式可以用来解决样本数据的最值问题．已知 $7$ 个样本数据的均值为 $2$，方差为 $\dfrac{4}{3}$，则这 $7$ 个样本数据的中位数的最大值为 $\underline{\hspace{3em}}$．

参考解答

解析：

设这 $7$ 个样本数据从小到大排列为 $x_1\leqslant x_2\leqslant\cdots\leqslant x_7$．
记前 $3$ 个数据 $x_1,x_2,x_3$ 的均值为 $x$，方差为 $s_1^2$；
后 $4$ 个数据 $x_4,x_5,x_6,x_7$ 的均值为 $y$，方差为 $s_2^2$．

由题意，总的样本均值为 $2$，故

$\frac{3x+4y}{7}=2\quad\Longrightarrow\quad 3x+4y=14.$

由题设的分层随机抽样方差公式，有

$\begin{aligned} s^2&=\frac{1}{7}\big[3(s_1^2+(x-2)^2)+4(s_2^2+(y-2)^2)\big]\\[2mm] &\geqslant\frac{1}{7}\big[3(x-2)^2+4(y-2)^2\big], \end{aligned}$

其中等号当且仅当 $s_1^2=s_2^2=0$（即两组内各自取值相等）时成立．

已知 $s^2=\dfrac{4}{3}$，代入得

$\frac{1}{7}\big[3(x-2)^2+4(y-2)^2\big]\leqslant\frac{4}{3},$

即

$3(x-2)^2+4(y-2)^2\leqslant\frac{28}{3}.$

将 $y=\dfrac{14-3x}{4}$ 代入上式：

$\begin{aligned} 3(x-2)^2+4\!\left(\frac{14-3x}{4}-2\right)^{\!2}&\leqslant\frac{28}{3}\\[2mm] 3(x-2)^2+4\!\left(\frac{6-3x}{4}\right)^{\!2}&\leqslant\frac{28}{3}\\[2mm] 3(x-2)^2+\frac{9(x-2)^2}{4}&\leqslant\frac{28}{3}\\[2mm] \frac{21}{4}(x-2)^2&\leqslant\frac{28}{3}\\[2mm] (x-2)^2&\leqslant\frac{16}{9}. \end{aligned}$

故

$|x-2|\leqslant\frac{4}{3}\quad\Longrightarrow\quad\frac{2}{3}\leqslant x\leqslant\frac{10}{3}.$

代入 $y=\dfrac{14-3x}{4}$ 得

$1\leqslant y\leqslant 3.$

由于 $x_4$（中位数）$\leqslant x_5\leqslant x_6\leqslant x_7$ 且这 $4$ 个数的均值为 $y$，所以中位数 $x_4\leqslant y\leqslant 3$．

当 $s_1^2=s_2^2=0$ 且 $x=\dfrac{2}{3},\ y=3$ 时，即

$x_1=x_2=x_3=\frac{2}{3},\qquad x_4=x_5=x_6=x_7=3$

时，中位数取得最大值 $3$．

答案：$\displaystyle 3$