每日一题：2026-06-20

题目

有一组样本数据 $x_1,x_2,\cdots,x_8$，其平均数为 $4$，方差为 $s_1^2$，中位数为 $m$．在这组数中，去掉一个最大的数 $6$ 和一个最小的数 $2$，余下 $6$ 个数据的中位数为 $n$，方差为 $s_2^2$，极差为 $R$．则（　　）

A. $n=m$　　　　B. $R<4$　　　　C. $3s_2^2<4s_1^2$　　　　D. $s_1^2\geqslant 1$

参考解答

解析：

设 $8$ 个样本数据从小到大排列为 $x_1\leqslant x_2\leqslant\cdots\leqslant x_8$，则 $x_1=2,\;x_8=6$．

对于 A：
原数据的中位数为 $m=\dfrac{x_4+x_5}{2}$，去掉 $x_1,x_8$ 后，余下 $6$ 个数据的中位数仍为中间两个数的平均值 $n=\dfrac{x_4+x_5}{2}$，故 $n=m$，A 正确．

对于 B：
原数据的极差为 $6-2=4$．去掉 $2$ 和 $6$ 后，新数据的极差 $R=x_7-x_2$．由于 $x_7\leqslant 6,\;x_2\geqslant 2$，当且仅当数据中存在重复的 $2$ 或 $6$（即 $x_2=2$ 或 $x_7=6$）时，$R=4$；否则 $R<4$．因此 $R$ 不一定小于 $4$，B 错误．

对于 C：
原数据的平均数为 $4$，故

$x_1+x_2+\cdots+x_8 = 8\times 4 = 32.$

去掉 $x_1=2,\;x_8=6$ 后，

$x_2+x_3+\cdots+x_7 = 32-2-6 = 24,$

所以新数据的平均数仍为 $\dfrac{24}{6}=4$．

由方差公式：

$8s_1^2 = \sum_{i=1}^8 (x_i-4)^2 = (2-4)^2+(6-4)^2 + \sum_{i=2}^7 (x_i-4)^2,$

即

$8s_1^2 = 4+4+6s_2^2 = 8+6s_2^2.$

于是

$s_2^2 = \frac{8s_1^2-8}{6} = \frac{4s_1^2-4}{3}.$

由 $s_1^2 = 1+\dfrac{3}{4}s_2^2$ 得 $4s_1^2-3s_2^2 = 4 > 0$，
即 $3s_2^2<4s_1^2$，C 正确．

对于 D：
由 $8s_1^2 = 8+6s_2^2$ 得

$s_1^2 = 1+\frac{3}{4}s_2^2.$

因为 $s_2^2\geqslant 0$，所以 $s_1^2 = 1+\dfrac{3}{4}s_2^2 \geqslant 1$，D 正确．

综上所述，正确选项为 $\boxed{\text{ACD}}$．

答案：$\displaystyle \text{ACD}$