每日一题：2026-06-21

题目

已知样本数据 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的各项均不为 $0$，设这组样本数据的方差为 $s_1^2$（$s_1^2>0$），样本数据 $|x_1|,|x_2|,\cdots,|x_n|$ 的方差为 $s_2^2$．设甲：$s_1^2=s_2^2$，乙：$x_1,x_2,\cdots,x_n$ 全为正数，或 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 全为负数．则甲是乙的（　　）

A. 充分必要条件　　　　B. 充分不必要条件　　　　C. 必要不充分条件　　　　D. 既不充分也不必要条件

参考解答

解析：

设 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的平均数为 $\mu$，$|x_1|,|x_2|,\cdots,|x_n|$ 的平均数为 $\nu$，即

$\mu=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,\qquad \nu=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |x_i|.$

由方差公式：

$s_1^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2 =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2-\mu^2,$

$s_2^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (|x_i|-\nu)^2 =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2-\nu^2.$

充分性（甲 $\Rightarrow$ 乙）：

若 $s_1^2=s_2^2$，则 $\mu^2=\nu^2$，又 $\nu\geqslant 0$，故 $|\mu|=\nu$．

由绝对值不等式：

$|\mu|=\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\right| \leqslant\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |x_i|=\nu,$

等号成立当且仅当 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 全为正数或全为负数．

已知 $|\mu|=\nu$，即不等式取等号，因此 $x_1,\cdots,x_n$ 全为正数或全为负数，充分性成立．

必要性（乙 $\Rightarrow$ 甲）：

• 若 $x_1,\cdots,x_n$ 全为正数，则 $|x_i|=x_i$，显然 $s_1^2=s_2^2$．
• 若 $x_1,\cdots,x_n$ 全为负数，则 $|x_i|=-x_i$，且 $|x_1|,\cdots,|x_n|$ 的平均数为 $-\mu$，故

  $s_2^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\bigl(|x_i|-(-\mu)\bigr)^2 =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(-x_i+\mu)^2 =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2=s_1^2.$

必要性成立．

综上，甲是乙的充分必要条件，故选 $\boxed{\text{A}}$．

答案：$\displaystyle \text{A}$