题目
已知两个直角三角形的斜边长均为 ．第一个三角形的三边长 ，其平均数为 ，方差为 ；第二个三角形的三边长 ，其平均数为 ，方差为 ；将两组数据合并为样本 ．已知 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．样本 的中位数为
C．样本 的总方差
D．样本 的总方差
参考解答
解析：答案：．核心工具是方差公式
即"平方平均减去平均的平方"，配合直角三角形的勾股约束 逐项判断。
先化简方差表达式：由 得
同时由 知 ，即 。
判断 A（错误）：若 ，则 ，故 ，于是 。
但这并不能推出 ，反例：取 ，，，（均满足 ），此时
即 ，代入方差表达式 得 ，与 A 的结论相反，故 A 错误。
判断 B（正确）：不妨设 ，则六个数满足
将样本 排序为 ，中位数为第 3、4 个数的平均数：
故 B 正确。
判断 C（正确）：合并样本 共 6 个数，总平均数为两组平均数的算术平均：
由方差公式，，，故总方差
故 C 正确。（这就是方差的合成公式：总方差 = 组内方差的平均 + 组间方差。）
判断 D（正确）：令 （，因斜边最长），代入 得
又 ，，代入 C 的公式并整理：
因为 ，关于 的二次函数开口向下，在 上单调递减，故
故 D 正确。
答案：