题目
将 分为没有公共元素的两组，每组各 个数．现从这两组中独立且随机地各选择一个数 、，定义随机变量 ．在所有分组方式中， 的最大值与最小值分别为（ ）
A．、
B．、
C．、
D．、
参考解答
答案：
解析：
设数 的取值集合为 ，数 的取值集合为 ，则 ，，且 ．每次从 、 中各取一个数，共有 个等可能的样本点 ，故
第一步：明确"有利"样本点对应相邻数对。
当且仅当 是相邻数对 之一，这样的相邻数对共 个。
一个相邻数对若被分属 、 两组（称为"跨组对"），则它恰好贡献 个有利样本点：
故 ，问题转化为求跨组相邻对数的最大值与最小值。
第二步：最大值。
当 取全体奇数、 取全体偶数时，即
（或 、 互换）， 个相邻数对全部跨组，有利样本点有 个，故
第三步：最小值。
先证明任何分组下跨组相邻对数至少为 。将 看作一条链 ，若某个相邻数对同属一组，则沿链看这两个数"连通"。若跨组相邻对数为 ，则任意相邻两数都同组，沿链传递可知 全在同一组，与两组各有 个数矛盾。故跨组相邻对数 ，即
该下界可以达到：取
此时唯一跨组的相邻数对是 ，有利样本点只有 个 ，故
综上， 的最大值为 ，最小值为 ，选 D。
【点评】本题是古典概型与组合思想的结合。关键在于把 与"相邻数对是否跨组"对应起来：(1) 相邻且差为 的数对共 个，每组各 个数，故有利样本点个数恰等于跨组相邻对数；(2) 求最大值用奇偶交错分组使 对全部跨组；(3) 求最小值用"链连通"观点证明至少 对跨组，再构造 、 说明恰有 对。注意 是不可能的——若相邻两数都同组， 个数将被"串"在同一组里，与平分两组矛盾。