题目
正方体的顶点和它的中心构成的 个点中取 点，能构成锐角三角形顶点的概率为__．
参考解答
答案：
解析：
不妨设正方体棱长为 ，则 个顶点可连出 条线段，其中长度为 （棱）、（面对角线）、（体对角线）的线段分别有 、、 条。从 个点中取 点共有 种取法，按是否含中心分类讨论。
情形一： 点均为正方体的顶点。
设三点构成三角形的最大边为 ，由余弦定理，三角形为锐角三角形当且仅当
（最大边所对角为锐角，其余角自然为锐角）。
若三点中有两点连线长度为 或 ：
- 若含有长度为 的边（棱），该边两端必同时连着某条长为 的面对角线，即三角形为等腰直角三角形，是直角三角形；
- 若最长边为 （体对角线），此时三个顶点两两连出的边只能由棱和面对角线组成，且 ，即 ，为直角三角形。
故要构成锐角三角形，三点必须两两连线长度均为 ，即构成边长为 的正三角形。这样的三角形恰有 个：取定一个顶点，与它距离为 的顶点恰有 个（如顶点 与过 的三个面的对角顶点），从中任取 个都与 构成正三角形，故共有 个（每个正三角形有 个顶点，重复计算了 次）。
情形二： 点中有 点为正方体中心。
其余 点为顶点，它们到中心的距离均为
三角形三边平方为 ，最大边平方与另两边平方和 比较：
- 若 或 ，则 ，最大边所对角为钝角，是钝角三角形；
- 若 ，则最大边平方 ，为锐角三角形。
故此时构成锐角三角形当且仅当两顶点距离为 ，即两点是同一条棱的两个端点，共有 种选择。
综上，能构成锐角三角形的取法共 种，所求概率为
【点评】本题是古典概型与立体几何的综合题。两个关键：(1) 空间两点的距离只有 四类，按含中心与否分类后，每类三角形的边长完全确定；(2) 判断锐角三角形只需检验最大边： 时为锐角， 时为直角， 时为钝角。"中心到各顶点距离 介于 和 之间"是不等式判断的核心。