题目
乒乓球被称为中国的”国球”，在 2024 年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国乒乓球队包揽五块金牌。11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10:10 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜（比如：比分为 10:10 后打成 11:10、12:10，得 12 分者胜），该局比赛结束。甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 ，乙发球时甲得分的概率为 ，各球的结果相互独立且甲、乙水平相当（甲发球时甲得分概率与乙发球时乙得分概率相同）。在某局双方 10:10 平后，甲先发球。
(1) 若两人又打了 2 个球比赛结束且甲获胜的概率为 ，求 的值；
(2) 若 满足 (1) 中条件取值，记事件 ：”两人又打了 4 个球该局比赛结束”，事件 ：”两人又打了 个球该局比赛结束”。
(i) 求 ；
(ii) 直接写出 。
参考解答
解析：
(1) 10:10 平后甲先发球，又打 2 球结束且甲获胜，意味着甲连赢 2 球（比分变为 12:10）。第 1 球甲发球，甲得分概率为 ；第 2 球乙发球，甲得分概率为 。由独立性：
由"甲、乙水平相当"，对称地有：乙发球时乙得分的概率也为 ，即 。于是
(2)(i) 由 (1) 知 。记 ，则每球甲得分概率均为 （无论谁发球），乙得分概率均为 。
10:10 后每球结束时分差只能增大。又打 4 球后比赛结束，且分差恰为 2，则 4 球中一方得 3 分另一方得 1 分（比分 13:11）。但要注意：比赛在分差首次达到 2 分时立即结束，所以前 3 球的分差必须是 1:2（不能是 3:0 或 0:3，否则第 3 球就结束了）。
甲获胜（4 球中甲得 3 分）且恰在第 4 球结束的情形：前 3 球甲得 2 分，第 4 球甲得分。具体为（按球的顺序，1 表示甲得分）：
同样地，乙获胜且恰在第 4 球结束的情形：
四个情形概率相等（每个序列都是 3 个 和 1 个 的乘积），故
代入 ：，，
计算 ，所以 ，
(2)(ii) 打 球后结束，分差为 2。每球产生 1 分， 球后分差为 的奇偶性与各球分布有关：
当 为奇数时， 球后双方得分之差为奇数，但比赛结束时分差必须是 2（偶数）——奇数个球无法使分差从 0（10:10）变为恰好 2，故
当 时：比赛恰在第 球结束，要求前 球中双方各得 分（比分一直咬平），且最后 2 球由同一方连得。
- 前 球每两球"一甲一乙"的概率：，共 组，故为 ；
- 最后 2 球同方连得（甲连赢或乙连赢）：。
所以
答案：(1) ；(2)(i) ；(ii) 为奇数时 ； 时 。