题目
将容量为 的总体分为两层，第一、二层的容量分别为 、，现从这个总体中抽取容量为 的样本，设第一、二层抽取的样本量分别为 、，，，且 ，记简单随机抽样下，总体中两个特定不同个体都被抽中的概率为 ；记按比例分层随机抽样下，同属第一层、同属第二层、分属两层的两个特定不同个体都被抽中的概率分别为 、、．下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
参考解答
解析：
记 （抽样比，），则 ，。
先写出各概率：
- 简单随机抽样中，容量为 的样本包含两个特定不同个体，等价于再从其余 个个体中抽 个：
- 同理，第一层内两点同被抽中：
- 第二层内两点同被抽中：
- 分属两层的两点独立抽取、各自入样：
核心恒等式：
同理 ；且
逐项判断：
A. 由上式立即得
恒成立，A 正确。
B. 同理
恒成立，B 正确。
C. 计算左边：
右边：
两边同除 ，比较剩余部分：
分子展开（利用 ）：
由 知 ，即分子 ，故左边 右边，选项 C 的""不成立，C 错误。
D. 由 C 的计算：
（因为上式括号内 ），D 正确。
数值验证（取 ，）：，，，，代入四项验证与上述结论一致。
答案：ABD