题目
盒中有 （）个标号为 的小球，小球除标号外均相同，每次不放回地随机取一个球，在取球过程中的某一时刻，若取得的奇数号球与偶数号球个数相等，则称出现了一次”巧遇”．
(1) 当 时，求取球两次出现”巧遇”的概率；
(2) 记 = “取出 个球后，第一次出现’巧遇’”，， = “第一次取到的是奇数号球”．
(i) 证明：$P(A{2i}B)=P(A{2i}\bar{B})$；
(ii) 求取球过程中至少出现一次”巧遇”的概率．
参考解答
解析：
先看整体结构：奇数号球共 个，偶数号球共 个．取完所有 个球后，奇数比偶数恰多 个．考察"奇数个数 偶数个数"这个差值 ：开始为 ，每取一球变化 ，最终为 ．"巧遇"即某时刻 （偶数次取球后奇偶个数相等）．
(1) 当 时，盒中有标号 的球（奇数 ，偶数 ）．不放回取两次，样本点总数为 ．
"巧遇"即两球一奇一偶： 种，即 ．
(2) (i) = "第一次取到的是偶数号球"．
建立对应：把任意一个使 发生的取球序列中，所有球按"奇数号 偶数号"互换（ 型：将每个奇数号换成某偶数号、每个偶数号换成某奇数号，例如奇偶标号互换映射 与 的任一固定双射）．
这个映射把"第一次奇数、 次时首次巧遇"的序列一一对应到"第一次偶数、 次时首次巧遇"的序列：每一步的奇偶性全部反转，故差值 每一步取相反数， 的时刻集合完全不变，"第一次出现巧遇"的位置 不变，且第一次取球由奇变偶．
由于两两不同的序列映射后仍两两不同，事件 与 包含的样本点个数相等，每个样本点等可能，故
(2) (ii) 记 = "取球过程中至少出现一次'巧遇'"，则 （）互斥，且
（两堆互斥）．由 (i)，对每个 有 ，求和得
关键观察：（）互斥且其并为 ——事实上 显然；反过来，若第一次取到偶数号球，则 从 出发、每步变化 、最终到达 ，由介值（取 变步长）必在某偶数步经过 ，即必出现"巧遇"，且首次出现必在某 步，故 ，从而
于是
数值验证（ 全枚举）：，与 一致； 也逐一成立．
答案：(1) ； (2)(ii)