题目
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两名队员，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，乙胜丙的概率为 （），每场比赛相互独立．
(1) 若 ，甲、乙首先比赛，恰好比赛四场结束，求：
(i) 甲最终获胜的概率；
(ii) 丙最终获胜的概率；
(2) 若 ，甲、丙首先比赛，求丙最终获胜的概率．
参考解答
解析：
赛制梳理：每场负者败场数加 ，累计两败即被淘汰；三人阶段由"上场胜者 vs 上场轮空者"对打、上场负者轮空；一人被淘汰后，剩余两人直接对打（败场累计延续），直至再有 人两败出局，比赛结束——最终获胜者即最后一场的胜者．
"恰好比赛四场结束"：第 场末恰有一人累计两败出局且另一人未满两败．由于第一人最早在第 场末被淘汰、最晚在第 场末被淘汰，四场结束的情形需逐路径枚举．
(1) (i) （丙胜乙概率 ），甲乙先赛．甲最终获胜须保持不败（甲若败一场仍可能获胜，但须恰四场结束，逐路径验证后唯一路径为甲四连胜）：
第 1 场甲胜乙（乙 1 败）；第 2 场甲 vs 丙，甲胜（丙 1 败）；第 3 场甲 vs 乙，甲胜（乙 2 败，乙淘汰）；第 4 场甲 vs 丙，甲胜（丙 2 败，丙淘汰）．
（其余路径要么不满四场、要么超过四场、要么最终获胜者非甲，枚举验证无遗漏．）
答案：
(1) (ii) 丙最终获胜且恰四场：甲、乙各两败淘汰，丙至多一败，且第 场末比赛结束．两条路径：
路径一：第 1 场甲胜乙（乙 1 败）；第 2 场甲 vs 丙，丙胜（甲 1 败）；第 3 场丙 vs 乙，丙胜（乙 2 败，乙淘汰）；第 4 场丙 vs 甲，丙胜（甲 2 败，甲淘汰）：
路径二：第 1 场乙胜甲（甲 1 败）；第 2 场乙 vs 丙，丙胜（乙 1 败）；第 3 场甲 vs 丙，丙胜（甲 2 败，甲淘汰）；第 4 场丙 vs 乙，丙胜（乙 2 败，乙淘汰）：
（注意：路径一中第 3 场丙胜乙的概率是丙胜乙的 ，路径二中第 2 场同理；若丙负则丙已 1 败、后续无法恰四场内两败淘汰甲乙并让丙获胜，枚举确认无其他路径．）
路径一、路径二互斥，故
答案：
(2) （乙丙互胜概率均 ），甲丙先赛．枚举丙最终获胜的全部路径（三人阶段负者轮空、胜者连战；淘汰后剩两人续打）：
路径 1（4 场）：丙胜甲 → 丙胜乙 → 丙胜甲 → 丙胜乙（甲、乙各两败）：
路径 2（5 场）：丙胜甲 → 丙胜乙 → 丙胜甲（甲 2 败，甲淘汰）→ 乙胜丙（丙 1 败）→ 丙胜乙（乙 2 败，乙淘汰）：
路径 3（5 场）：丙胜甲 → 丙胜乙 → 甲胜丙（丙 1 败）→ 乙胜甲（甲 2 败，甲淘汰）→ 丙胜乙（乙 2 败，乙淘汰）：
路径 4（5 场）：丙胜甲 → 丙胜乙 → 甲胜丙（丙 1 败）→ 甲胜乙（乙 2 败，乙淘汰）→ 丙胜甲（甲 2 败，甲淘汰）：
路径 5（5 场）：丙胜甲 → 乙胜丙（丙 1 败）→ 乙胜甲（甲 2 败，甲淘汰）→ 丙胜乙（乙 1 败）→ 丙胜乙（乙 2 败，乙淘汰）：
路径 6（5 场）：丙胜甲 → 乙胜丙（丙 1 败）→ 甲胜乙（乙 2 败，乙淘汰）→ 丙胜甲（甲 2 败，甲淘汰）：
路径 7（5 场）：甲胜丙（丙 1 败）→ 乙胜甲（甲 1 败）→ 丙胜乙（乙 1 败）→ 丙胜甲（甲 2 败，甲淘汰）→ 丙胜乙（乙 2 败，乙淘汰）：
路径 8（5 场）：甲胜丙（丙 1 败）→ 甲胜乙（乙 1 败）→ 丙胜甲（甲 2 败，甲淘汰）→ 丙胜乙（乙 2 败，乙淘汰）：
以上 条路径经程序精确枚举确认完备（互斥、无遗漏，丙获胜之外的全部路径概率之和校验 ），故
答案：