题目
在三棱柱 -$A1B1C1\triangle ABCCA=CB=6CC1=4\sqrt{2}CC1ABC60^\circ\overrightarrow{C1A}\cdot\overrightarrow{C1B}$ 的最小值为_．
参考解答
解析：
1. 向量分解
由棱柱的性质，侧棱平行且相等，于是
2. 展开数量积
为等腰直角三角形（，），故
从而
3. 用线面角刻画
设 在平面 内的射影为 ．直线 与平面 所成角为 ，于是
将 正交分解为平面内分量 与垂直于平面的分量 ．因为 在平面 内，而 垂直于该平面，两者点积为零，于是
由于 固定而方向任意，点 的轨迹是平面 内以 为圆心、半径 的圆．
4. 求最小值
由 且 ，得
由数量积的界
等号当且仅当 与 同向时成立，此时 沿 的平分线方向（半径 的圆恰好能取到该方向）．
因此
当 与 同向时取到最小值．
答案：