每日一题：2026-09-11

题目

在底面半径为 、高为 的圆柱的表面上，有三个动点 、、，则 的最小值为__．

参考解答

解析： 1. 把数量积拆成"竖直 + 水平"两部分 过 、、 分别作与底面平行的截面，得圆 、、（含 的记为圆 ）．设 、 分别是 、 在圆 所在平面内的正投影，、 分别是 在圆 、 所在平面内的正投影，则 垂直于平面的分量与平面内的分量点积为零，故展开式中只剩两项： 2. 竖直部分 设 、、 的高度分别为 ．两个竖直分量同向或反向，于是 要让它是负的且绝对值最大，应使 、 分居 的上下两侧并取到圆柱上下底： 等号在 时成立，即 位于圆柱正中间高度时，竖直部分最小为 ． 3. 水平部分 圆 半径为 ， 在圆周上，、 在半径为 的圆内．以 为原点、取 ，设 则 记 ，．由和差化积：，，代入得 因 ，分两种情形放缩： - 若 ，令 时最小：； - 若 ，令 时最小：． 所以水平部分 ，等号当两向量长度都为 、夹角为 时取得： 4. 两部分的最值可同时取到 取 在高度 的截面上， 在顶面边缘、 在底面边缘，并使水平位置对应上述 夹角．例如以圆 的圆心为原点、取 ，可令 直接计算： 其中水平部分为 、竖直部分为 ，两者同时取到最小值．因此 答案：