题目
已知四棱锥 的体积为 ，四边形 是平行四边形， 为 的中点，经过直线 的平面与侧棱 、 分别交于点 、，设 ，，则四棱锥 体积的最小值为 。
参考解答
解析：
设 ，，。
因为 是平行四边形，所以 ，即
由此得
又 为 的中点，故 ；由 、 的定义有
代入 的表达式得
由于截面经过直线 ，故 、、、 四点共面，上式右端三个向量（以 为公共起点）共面，所以三个系数之和为 ：
即
用等体积法求两块体积：四面体 与 是同一个四面体，于是
由 、 得面积比
而
所以
同理
四棱锥 的底面四边形 被对角线 分成两个三角形，故
用基本不等式求最小值：由 (1) 式得
等号成立当且仅当 ，结合 (1) 式解得 ，此时 、 分别落在线段 、 内部，故最小值可以取到。
答案：