题目
在如图 1 所示平面四边形 中，，，，。将 沿 翻折至 （图 2），其中 为动点，连接 ，令 ，。点 分别为 的中点，点 在 上且满足 ， 与 交于 ， 与 交于 ，连接 。
（1）证明： 平面 ；
（2）当平面 平面 时，求 的值；
（3）求二面角 的余弦值的最小值。
参考解答
解析：
由 知 中 为直角顶点，于是
在 中 ，由余弦定理
翻折是绕 的旋转，保持 处两边的夹角，故 始终成立。
（1）记 ，，，则
由 为 中点，。设 ，则 。由 得
于是 ，即 是 的中点。
现在 、 是 的两条中线，故 为 的重心，；同理 、 是 的两条中线， 为 的重心，。
在 中，，由平行线分线段成比例定理得 。
又 在 上、 在 上，故 平面 。而 是 的重心，若 在平面 内，则由 得 也在平面 内，与 平面 矛盾，故 不在平面 内。所以
（2）先证每一条 的位置下都有 ：
又 ，，且 。记 ，则
引理：若平面 平面 ，直线 ， 且 ，则 或 。
证明：设 。以 为 轴、在 内取 轴垂直于 ，建立空间直角坐标系，则 是 平面；由 知 是 平面。设 的方向向量为 ， 的方向向量为 ，由 得 ，即 或 ：前者说明 ，后者说明 。证毕。
由 平面 ， 平面 ， 及平面 平面 ，用引理分两种情况：
情况一： 平面 ，则 ，即
此时 ，得 。
情况二： 平面 ，则 ，即
此时 ，得 ，舍去。
反过来，当 时 且 ，故 平面 ，从而平面 平面 ，符合题意。所以
（3）以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系 ，则
设 且 。由 、 得
两式相减得 ，代回得 。
图 3
又 ，把 代入得
由 得 。
平面 就是坐标平面 ，取法向量 。由 是 的中点得 ，于是
设平面 的法向量为 ，由 与 可取其一个法向量为
设二面角 的平面角为 ，则
令 ，则 ，且
因为 ，函数 在 上单调递减，故 在该区间上单调递减，于是 的最小值为
所以
此时 ，即 ，代回 得 ，属于已知范围。
答案：（1）证明见上；（2）；（3）