每日一题：2026-09-16

题目

四面体 中，体积 、底面 的面积 与棱长 满足 ，求 的最小值。

参考解答

解析： 第一步：由体积定出高。设点 到平面 的距离为 ，由体积公式 设 在平面 内的射影为 ，则 且 平面 。由勾股定理 第二步：平面上到三个顶点距离平方和最小在重心处取得。设 为 的重心，则 。对平面内任意点 ， 所以 ，等号当且仅当 。 再由 出发（原点取在重心 ），把三向量两两之差的平方和展开、交叉项相消，即得恒等式 于是 第三步：由面积定出点 的位置。点 到直线 的距离为 取直角坐标系使 、、，则 等号当 时取得。 第四步：合并。 等号成立的条件：点 在 的中垂线上且到 的距离为 ；点 为 的重心；点 在 的正上方且 。 答案：