题目
已知正四面体 的棱长为 ，顶点 、、 在平面 的同侧，点 在平面 内，顶点 、 到平面 的距离分别为 、，直线 与平面 交于点 ，则（ ）
A. 直线 与平面 所成角为
B. 平面 与平面 所成角为
C.
D. 点 到平面 的距离为
参考解答
解析：
设 、 在平面 内的射影分别为 、，则 ，，且 ，两者都垂直于 。
判断 A． 因为 在 内，所以 就是直线 与 所成的角。在直角三角形 中，
故 ，A 正确。
判断 B． 由 、 知四边形 是直角梯形，两底的差为 ，而 ，故
同理 ，。
在 内的投影是 （，，），记它的面积为 。在 中 ，底边 ，故
而 是边长为 的正三角形，面积 。设平面 与 所成角为 ，由投影面积公式 得
B 错误。
判断 C． 点 既在直线 上（从而在平面 内），又在 内，所以 在两平面的交线 上，即 、、 三点共线。
由 且 ，结合 、、 共线与 、、 共线可得 ，相似比为 ，故 是 的中点，。
又上面已算得 ，于是
即 、、 三点都在以 为圆心、 为半径的圆上；而 是 的中点，故 是该圆的直径，由直径所对的圆周角是直角得 ，即 。
又 ，，故 ；而 、 是平面 内两条相交直线，所以 平面 ，从而 ，C 正确。
判断 D． 由 C 知 ，又 ，故
再由 得 ，即 是 的中点；又 ，于是 ，即 到 、、 三点等距， 是 的外心。而 在边 上，故 是 外接圆的直径，。
过 作 的垂线作为 轴，以 为 轴建立空间直角坐标系。由 知 ，故 在 轴上，；又 是 的中点，于是
设 （因 与 、 同侧，）。由 得
后两式分别减去第一式并整理，得
由第一式得 ，代入第二式得 ；再代入 ：
解得 ，因 ，故 ，D 正确。
答案：