题目
在四棱锥 - 中，， 与 交于点 ，、 分别为 、 的中点，，过点 向平面 作垂线，垂足为 ，。
（1）证明： 平面 ；
（2）若 。
（i）若 为 中点，求三棱锥 - 的体积；
（ii）设二面角 -- 的平面角为 ，求 的最小值。
参考解答
解析：
（1） 因为 ， 为 的中点，所以 。
因为 平面 ， 平面 ，所以 ；又 ，、 平面 且 ，所以 平面 。又 平面 ，所以 。
又 、 平面 且 ，所以 平面 。又 为 的中点，所以 为 的中位线，，故 平面 。
（2）（i） 以 为原点， 所在射线为 轴正半轴、 所在射线为 轴正半轴，建立空间直角坐标系。
由 且 得 ，故 。于是
设 （）、（），则 、，由点 在 上得 。
又 、，由
整理得 ；同理，由 得 。
由 为 中点得 ，即 、，代入 得 ，故 ，解得 ，进而 （舍去负值），即 、，。
又 ，故 ，即 ，所以
（2）（ii） 由（i）得 （）、（），且 、、。
则 、、。设平面 与平面 的法向量分别为 、，由
取 、，则 、，即 、，所以
由 、、 得 ，即 ，即
由 、 知 ，故 。又 、，所以
代入 化简：分母为 ，分子为 ，于是
当且仅当 、（此时 、，即（i）的情形）时等号成立。
故 的最小值为 。
答案：（1）证明见解析；（2）（i）；（ii）