题目
设向量 ，，，且 。点 在 内，向量 与向量 的夹角为 ，则 的取值范围是 __。
参考解答
解析：
（1）先求 。由 、 得
又 ，故 。
（2）建立坐标系。以直线 为 轴、线段 的中垂线为 轴，坐标系原点记作 （它是 的中点）。因为 ，所以
又 、，故 在 轴上且
设 ，因 在 内，故 。于是
（3）用夹角条件求 的轨迹。因为
且夹角为 ，所以
其中分子 。两边平方得
右边展开：
左边展开：
两式相减并合并 的系数：
即
因 、，开方得 ，即
（4）参数化。由上式可设
由 得 ，故 。端点 时 与 重合（）， 时 与 重合（），两种情形夹角均无意义，故端点取不到。
（5）把目标写成 的函数。记 。由 得
故
（6）求 的范围。把上式去分母整理：
即
存在 使该式成立，当且仅当
两边平方：
即 ，解得
（7）端点是否取到。
若 ，则 ，即 ，得 ，此时 与 重合、，不合题意，故 。
若 ，代入得
因为 ，故可写成 ，其中锐角 满足
于是 ，从而
此时 ，满足要求，故 可以取到。
又 在 上连续，且 时 、 时 ，故 中每个值都能取到，即 。
所以
答案：