题目
已知圆 和点 。
（1）过 作圆 的切线，求切线的方程；
（2）过 作直线 交圆 于点 、 两个不同的点，且 不过圆心，再过点 、 分别作圆 的切线，两条切线交于点 ，求证：点 在同一直线上，并求出该直线的方程；
（3）已知 ，设 为满足方程 的任意一点，过点 向圆 引切线，切点为 ，试探究：平面内是否存在一定点 ，使得 为定值？若存在，请求出定点 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由。
参考解答
解析：
（1）分斜率是否存在讨论。
若切线斜率不存在，则切线为 。它过点 ，且圆心 到它的距离为 ，等于半径，故 是切线。
若切线斜率存在，设切线为 ，即
由圆心到切线的距离等于半径得
故切线为 ，整理得
所以切线的方程为 和 。
（2）设
因为 是圆 的切线，所以 ，即
展开得
又点 在圆 上，故
于是
同理，由 可得
上面两式说明：点 、 的坐标都满足方程
而过 、 两点的直线是唯一的，所以直线 的方程就是
又 在直线 上，代入得
这说明点 的坐标恒满足定直线方程，即 恒在定直线 上。
再补充两点说明：
① 两切线一定相交。若两切线平行，则 ，、 是一条直径的两个端点，此时 过圆心，与题设" 不过圆心"矛盾，故 一定存在。
② 反过来，若点 在圆外且其坐标满足这条定直线方程，则它的极线过点 ，正好就是本题中的弦 ，所以点 的轨迹是定直线 上位于圆外的部分。
（3）先求点 的轨迹。由 得
整理得
配方得
所以点 在圆心为 、半径为 的圆上。该圆心到 的距离为 ，而
所以这个圆整个位于单位圆的外部，其上任意点 都满足 ，过 的切线 一定存在，且由勾股定理
假设存在定点 和常数 ，使 对轨迹上的任意点 都成立，则
展开整理得
把 代入，得
上式左端是关于 、 的一次式，而它要对轨迹圆上的无穷多个点成立，所以左端必须是恒等式，即三个系数同时为 ：
由第一式得 ，即 （）；由第二式得 。把它们代入第三式：
即
解得 或 。
当 时，，；
当 时，，。
所以平面内确实存在满足条件的定点，而且有两个：取 时 为定值 ；取 时 为定值 。
答案：（1） 和 ；（2）点 恒在直线 上；（3）存在， 时定值为 ， 时定值为 。